Puissance de matrices - Exercice 1

$$A^{2} =A\times A$$. Il vient alors que :
$$A^{2} =\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {0} & {3} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {2\times 2+0\times 0} & {2\times 0+0\times 3} \\ {0\times 2+3\times 0} & {0\times 0+3\times 3} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {0} & {3} \end{array}\right)}}$$
$$A^{2} =\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {0} & {3} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {2^{2} } & {0} \\ {0} & {3^{2} } \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {0} & {3} \end{array}\right)}}$$
Ainsi :

$$A^{3} =A^{2}\times A$$. Il vient alors que :
$$A^{3} =\left(\begin{array}{cc} {2^{2} } & {0} \\ {0} & {3^{2} } \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {2^{2} \times 2+0\times 0} & {2^{2} \times 0+0\times 3} \\ {0\times 2+3^{2} \times 0} & {0\times 0+3^{2} \times 3} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {0} & {3} \end{array}\right)}}$$

Ainsi :

D'après les questions précédentes, nous savons que $$A^{\red{2}} =\left(\begin{array}{cc} {2^{\red{2}} } & {0} \\ {0} & {3^{\red{2}} } \end{array}\right)$$ et $$A^{\red{3}} =\left(\begin{array}{cc} {2^{\red{3}} } & {0} \\ {0} & {3^{\red{3}} } \end{array}\right)$$
Soit $$n$$ un entier naturel , on conjecture que :

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :A^{n} =\left(\begin{array}{cc} {2^{n} } & {0} \\ {0} & {3^{n} } \end{array}\right)$$
$$\red{\text{Etape d'initialisation :}}$$
On sait que $$A^{1}=A$$
La propriété $$P_{1}$$ est vraie.
$$\red{\text{Etape d'hérédité :}}$$
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire $$A^{k} =\left(\begin{array}{cc} {2^{k} } & {0} \\ {0} & {3^{k} } \end{array}\right)$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire $$A^{k+1} =\left(\begin{array}{cc} {2^{k+1} } & {0} \\ {0} & {3^{k+1} } \end{array}\right)$$
Nous savons que $$A^{k+1} =A^{k} \times A$$ .
$$A^{k+1} =\left(\begin{array}{cc} {2^{k} } & {0} \\ {0} & {3^{k} } \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {2^{k} \times 2+0\times 0} & {2^{k} \times 0+0\times 3} \\ {0\times 2+3^{k} \times 0} & {0\times 0+3^{k} \times 3} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {0} & {3} \end{array}\right)}}$$
$$A^{k+1} =\left(\begin{array}{cc} {2^{k} } & {0} \\ {0} & {3^{k} } \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {2^{k+1} } & {0} \\ {0} & {3^{k+1} } \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {0} & {3} \end{array}\right)}}$$
$$A^{k+1} =\left(\begin{array}{cc} {2^{k+1} } & {0} \\ {0} & {3^{k+1} } \end{array}\right)$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\red{\text{Conclusion :}}$$
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien :