Produit $$A\times B$$ et $$B\times A$$ : matrice inversible - Exercice 3

$$\red{\text{Commençons par calculer :}}$$ $$A-5I_{2}$$ .
$$A-5I_{2} =\left(\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {3} & {4} \end{array}\right)-5\left(\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {0} & {1} \end{array}\right)$$
$$A-5I_{2} =\left(\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {3} & {4} \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} {5} & {0} \\ {0} & {5} \end{array}\right)$$
$$A-5I_{2} =\left(\begin{array}{cc} {1-5} & {2-0} \\ {3-0} & {4-5} \end{array}\right)$$
D'où :
$$\red{\text{Calculons maintenant :}}$$ $$A\left(A-5I_{2} \right)$$ . On a alors :
$$A\left(A-5I_{2} \right)=\left(\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {3} & {4} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {1\times \left(-4\right)+2\times 3} & {1\times 2+2\times \left(-1\right)} \\ {3\times \left(-4\right)+4\times 3} & {3\times 2+4\times \left(-1\right)} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {-4} & {2} \\ {3} & {-1} \end{array}\right)}}$$
$$A\left(A-5I_{2} \right)=\left(\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {3} & {4} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {0} & {2} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {-4} & {2} \\ {3} & {-1} \end{array}\right)}}$$
Ainsi :
$$A\left(A-5I_{2} \right)=\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {0} & {2} \end{array}\right)$$
$$A\left(A-5I_{2} \right)=2\left(\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {0} & {1} \end{array}\right)$$
Finalement :

D'après la question précédente, nous savons que : $$A-5I_{2} =\left(\begin{array}{cc} {-4} & {2} \\ {3} & {-1} \end{array}\right)$$
Ainsi :
$$\left(A-5I_{2} \right)A$$ équivaut successivement à :
$$\left(A-5I_{2} \right)A=\left(\begin{array}{cc} {-4} & {2} \\ {3} & {-1} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {\left(-4\right)\times 1+2\times 3} & {\left(-4\right)\times 2+2\times 4} \\ {3\times 1+\left(-1\right)\times 3} & {3\times 2+4\times \left(-1\right)} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {3} & {4} \end{array}\right)}}$$
$$\left(A-5I_{2} \right)A=\left(\begin{array}{cc} {-4} & {2} \\ {3} & {-1} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {0} & {2} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {3} & {4} \end{array}\right)}}$$
Ainsi :
$$\left(A-5I_{2} \right)A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {0} & {2} \end{array}\right)$$
$$\left(A-5I_{2} \right)A=2\left(\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {0} & {1} \end{array}\right)$$
Finalement :

D'après les questions $$1$$ et $$2$$, nous avons montré que : $$A\left(A-5I_{2} \right)=2I_{2}$$ et $$\left(A-5I_{2} \right)A=2I_{2}$$
$$\blue{\text{D'une part :}}$$
$$\left(A-5I_{2} \right)A=2I_{2} \Leftrightarrow \frac{\left(A-5I_{2} \right)A}{2} =I_{2} \Leftrightarrow \pink{\frac{1}{2} \left(A-5I_{2} \right)}\times A=I_{2}$$
$$\blue{\text{D'autre part :}}$$
$$A\left(A-5I_{2} \right)=2I_{2} \Leftrightarrow \frac{A\left(A-5I_{2} \right)}{2} =I_{2} \Leftrightarrow A\times \pink{\frac{1}{2} \left(A-5I_{2} \right)}=I_{2}$$
Nous avons donc $$\pink{\frac{1}{2} \left(A-5I_{2} \right)}\times A=I_{2}$$ $$\red{\text{et}}$$ $$A\times \pink{\frac{1}{2} \left(A-5I_{2} \right)}=I_{2}$$
Il en résulte donc que $$A$$ est inversible et sa matrice inverse que l'on note $$A^{-1}$$ est égale à :
Comme $$A-5I_{2} =\left(\begin{array}{cc} {-4} & {2} \\ {3} & {-1} \end{array}\right)$$ alors