Calcul matriciel

Produit A×BA\times B et B×AB\times A : matrice inversible - Exercice 3

10 min
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Question 1
On considère la matrice A=(1234)A=\left(\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {3} & {4} \end{array}\right) .

Calculer A(A5I2)A\left(A-5I_{2} \right) .

Correction
Commençons par calculer :\red{\text{Commençons par calculer :}} A5I2A-5I_{2} .
A5I2=(1234)5(1001)A-5I_{2} =\left(\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {3} & {4} \end{array}\right)-5\left(\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {0} & {1} \end{array}\right)
A5I2=(1234)(5005)A-5I_{2} =\left(\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {3} & {4} \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} {5} & {0} \\ {0} & {5} \end{array}\right)
A5I2=(15203045)A-5I_{2} =\left(\begin{array}{cc} {1-5} & {2-0} \\ {3-0} & {4-5} \end{array}\right)
D'où :
A5I2=(4231)A-5I_{2} =\left(\begin{array}{cc} {-4} & {2} \\ {3} & {-1} \end{array}\right)

Calculons maintenant :\red{\text{Calculons maintenant :}} A(A5I2)A\left(A-5I_{2} \right) . On a alors :
A(A5I2)=(1234)(1×(4)+2×31×2+2×(1)3×(4)+4×33×2+4×(1))(4231)A\left(A-5I_{2} \right)=\left(\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {3} & {4} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {1\times \left(-4\right)+2\times 3} & {1\times 2+2\times \left(-1\right)} \\ {3\times \left(-4\right)+4\times 3} & {3\times 2+4\times \left(-1\right)} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {-4} & {2} \\ {3} & {-1} \end{array}\right)}}
A(A5I2)=(1234)(2002)(4231)A\left(A-5I_{2} \right)=\left(\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {3} & {4} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {0} & {2} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {-4} & {2} \\ {3} & {-1} \end{array}\right)}}
Ainsi :
A(A5I2)=(2002)A\left(A-5I_{2} \right)=\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {0} & {2} \end{array}\right)
A(A5I2)=2(1001)A\left(A-5I_{2} \right)=2\left(\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {0} & {1} \end{array}\right)
Finalement :
A(A5I2)=2I2A\left(A-5I_{2} \right)=2I_{2}
Question 2

Calculer (A5I2)A\left(A-5I_{2} \right)A .

Correction
D'après la question précédente, nous savons que : A5I2=(4231)A-5I_{2} =\left(\begin{array}{cc} {-4} & {2} \\ {3} & {-1} \end{array}\right)
Ainsi :
(A5I2)A\left(A-5I_{2} \right)A équivaut successivement à :
(A5I2)A=(4231)((4)×1+2×3(4)×2+2×43×1+(1)×33×2+4×(1))(1234)\left(A-5I_{2} \right)A=\left(\begin{array}{cc} {-4} & {2} \\ {3} & {-1} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {\left(-4\right)\times 1+2\times 3} & {\left(-4\right)\times 2+2\times 4} \\ {3\times 1+\left(-1\right)\times 3} & {3\times 2+4\times \left(-1\right)} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {3} & {4} \end{array}\right)}}
(A5I2)A=(4231)(2002)(1234)\left(A-5I_{2} \right)A=\left(\begin{array}{cc} {-4} & {2} \\ {3} & {-1} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {0} & {2} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {3} & {4} \end{array}\right)}}
Ainsi :
(A5I2)A=(2002)\left(A-5I_{2} \right)A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {0} & {2} \end{array}\right)
(A5I2)A=2(1001)\left(A-5I_{2} \right)A=2\left(\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {0} & {1} \end{array}\right)
Finalement :
(A5I2)A=2I2\left(A-5I_{2} \right)A=2I_{2}

Question 3

En déduire que la matrice AA est inversible et déterminer alors son inverse.

Correction
  • Une matrice carrée d'ordre AA est inversible si et seulement si il existe une matrice BB telle que A×B=InA\times B=I_{n} et\red{\text{et}} B×A=InB\times A=I_{n} InI_{n} correspond à la matrice identité .
  • D'après les questions 11 et 22, nous avons montré que : A(A5I2)=2I2A\left(A-5I_{2} \right)=2I_{2} et (A5I2)A=2I2\left(A-5I_{2} \right)A=2I_{2}
    D’une part :\blue{\text{D'une part :}}
    (A5I2)A=2I2(A5I2)A2=I212(A5I2)×A=I2\left(A-5I_{2} \right)A=2I_{2} \Leftrightarrow \frac{\left(A-5I_{2} \right)A}{2} =I_{2} \Leftrightarrow \pink{\frac{1}{2} \left(A-5I_{2} \right)}\times A=I_{2}
    D’autre part :\blue{\text{D'autre part :}}
    A(A5I2)=2I2A(A5I2)2=I2A×12(A5I2)=I2A\left(A-5I_{2} \right)=2I_{2} \Leftrightarrow \frac{A\left(A-5I_{2} \right)}{2} =I_{2} \Leftrightarrow A\times \pink{\frac{1}{2} \left(A-5I_{2} \right)}=I_{2}
    Nous avons donc 12(A5I2)×A=I2\pink{\frac{1}{2} \left(A-5I_{2} \right)}\times A=I_{2} et\red{\text{et}} A×12(A5I2)=I2A\times \pink{\frac{1}{2} \left(A-5I_{2} \right)}=I_{2}
    Il en résulte donc que AA est inversible et sa matrice inverse que l'on note A1A^{-1} est égale à :
    A1=12(A5I2)A^{-1}=\pink{\frac{1}{2} \left(A-5I_{2} \right)}

    Comme A5I2=(4231)A-5I_{2} =\left(\begin{array}{cc} {-4} & {2} \\ {3} & {-1} \end{array}\right) alors
    A1=(213212)A^{-1}=\left(\begin{array}{cc} {-2} & {1} \\ {\frac{3}{2}} & {\frac{-1}{2}} \end{array}\right)