Produit $$A\times B$$ et $$B\times A$$ : matrice inversible - Exercice 2

Il nous faut donc calculer $$A\times B$$ et $$B\times A$$. Nous allons détailler le calcul pour $$A\times B$$ et pour $$B\times A$$ nous donnerons le résultat à la calculatrice.
$$\text{\blue{D'une part :}}$$
$$A\times B=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {3} \\ {0} & {1} & {4} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{ccc} {1\times 1+2\times 0+3\times 0} & {1\times \left(-2\right)+2\times 1+3\times 0} & {1\times 5+2\times \left(-4\right)+3\times 1} \\ {0\times 1+1\times 0+4\times 0} & {0\times \left(-2\right)+1\times 1+4\times 0} & {0\times 5+1\times \left(-4\right)+4\times 1} \\ {0\times 1+0\times 0+0\times 1} & {0\times \left(-2\right)+0\times 1+1\times 0} & {0\times 5+0\times \left(-4\right)+1\times 1} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{ccc} {1} & {-2} & {5} \\ {0} & {1} & {-4} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right)}}$$
$$A\times B=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {3} \\ {0} & {1} & {4} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{ccc} {1} & {-2} & {5} \\ {0} & {1} & {-4} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right)}}$$
$$A\times B=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right)$$
Ainsi :
$$\text{\blue{D'autre part : Avec la calculatrice}}$$
On obtient :
$$\text{\blue{Conclusion :}}$$
Il en résulte donc que $$A$$ est bien la matrice inverse de $$B$$ .