Opérations sur les matrices : Multiplication - Exercice 3

$$A$$ est une matrice à $$3$$ lignes et $$3$$ colonnes. On dit que $$A$$ est une matrice carrée d'ordre $$3$$.
$$B$$ est une matrice à $$3$$ lignes et $$3$$ colonnes. On dit que $$B$$ est une matrice carrée d'ordre $$3$$.
Le nombre de colonnes de $$A$$ est égale au nombre de lignes de $$B$$. On peut donc calculer $$A\times B$$.
Soient $$A=\left(\begin{array}{ccc} {\red{2}} & {\red{1}} & {\red{0}} \\ {\blue{3}} & {\blue{-1}} & {\blue{2}} \\ {\orange{1}} & {\orange{0}} & {\orange{1}} \end{array}\right)$$ et $$B=\left(\begin{array}{ccc} {\pink{1}} & {\purple{2}} & {\green{3}} \\ {\pink{0}} & {\purple{1}} & {\green{4}} \\ {\pink{2}} & {\purple{0}} & {\green{1}} \end{array}\right)$$ .
Il vient alors que :
$$A\times B=\left(\begin{array}{ccc} {\red{2}} & {\red{1}} & {\red{0}} \\ {\blue{3}} & {\blue{-1}} & {\blue{2}} \\ {\orange{1}} & {\orange{0}} & {\orange{1}} \end{array}\right)\mathop{\left(\begin{array}{ccc} {\red{2}\times \pink{1}+\red{1}\times \pink{0}+\red{0}\times \pink{2}} & {\red{2}\times \purple{2}+\red{1}\times \purple{1}+\red{0}\times \purple{0}} & {\red{2}\times \green{3}+\red{1}\times \green{4}+\red{0}\times \green{1}} \\ {\blue{3}\times \pink{1}+\blue{\left(-1\right)}\times \pink{0}+\blue{2}\times \pink{2}} & {\blue{3}\times \purple{2}+\blue{\left(-1\right)}\times \purple{1}+\blue{2}\times \purple{0}} & {\blue{3}\times \green{3}+\blue{\left(-1\right)}\times \green{4}+\blue{2}\times \green{1}} \\ {\orange{1}\times \pink{1}+\orange{0}\times \pink{0}+\orange{1}\times \pink{2}} & {\orange{1}\times \purple{2}+\orange{0}\times \purple{1}+\orange{1}\times \purple{0}} & {\orange{1}\times\green{3}+\orange{0}\times\green{4}+\orange{1}\times\green{1}} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{ccc} {\pink{1}} & {\purple{2}} & {\green{3}} \\ {\pink{0}} & {\purple{1}} & {\green{4}} \\ {\pink{2}} & {\purple{0}} & {\green{1}} \end{array}\right)}$$

$$A\times B=\left(\begin{array}{ccc} {2} & {1} & {0} \\ {3} & {-1} & {2} \\ {1} & {0} & {1} \end{array}\right)\mathop{\left(\begin{array}{ccc} {2} & {5} & {10} \\ {7} & {5} & {7} \\ {3} & {2} & {4} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {3} \\ {0} & {1} & {4} \\ {2} & {0} & {1} \end{array}\right)}$$
Il en résulte donc que :