Opérations sur les matrices : Multiplication

$A$ est une matrice à $2$ lignes et $2$ colonnes. On dit que $A$ est une matrice carrée d'ordre $2$.
$B$ est une matrice à $2$ lignes et $2$ colonnes. On dit que $B$ est une matrice carrée d'ordre $2$.
Le nombre de colonnes de $A$ est égale au nombre de lignes de $B$. On peut donc calculer $A\times B$.
Soient $A=\left(\begin{array}{cc} {\red{2}} & {\red{1}} \\ {\blue{1}} & {\blue{5}} \end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{cc} {\pink{0}} & {\purple{3}} \\ {\pink{2}} & {\purple{6}} \end{array}\right)$
Il vient alors que :
$A\times B=\left(\begin{array}{cc} {\red{2}} & {\red{1}} \\ {\blue{1}} & {\blue{5}} \end{array}\right)\mathop{\left(\begin{array}{cc} {\red{2}\times \pink{0}+\red{1}\times \pink{2}} & {\red{2}\times \purple{3}+\red{1}\times \purple{6}} \\ {\blue{1}\times \pink{0}+\blue{5}\times \pink{2}} & {\blue{1}\times \purple{3}+\blue{5}\times \purple{6}} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {\pink{0}} & {\purple{3}} \\ {\pink{2}} & {\purple{6}} \end{array}\right)}$
$A\times B=\left(\begin{array}{cc} {2} & {1} \\ {1} & {5} \end{array}\right)\mathop{\left(\begin{array}{cc} {2} & {12} \\ {10} & {33} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {0} & {3} \\ {2} & {6} \end{array}\right)}$
Finalement :

$A$ est une matrice à $1$ ligne et $2$ colonnes.
$B$ est une matrice à $2$ lignes et $2$ colonnes. On dit que $B$ est une matrice carrée d'ordre $2$.
Le nombre de colonnes de $A$ est égale au nombre de lignes de $B$. On peut donc calculer $A\times B$.
Soient $A=\left(\begin{array}{cc} {\red{0}} & {\red{1}} \end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{cc} {\pink{2}} & {\purple{5}} \\ {\pink{3}} & {\purple{4}} \end{array}\right)$
$A\times B=\left(\begin{array}{cc} {\red{0}} & {\red{1}} \end{array}\right)\mathop{\left(\begin{array}{cc} {\red{0}\times \pink{2}+\red{1}\times \pink{3}} & {\red{0}\times \purple{5}+\red{1}\times \purple{4}} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {\pink{2}} & {\purple{5}} \\ {\pink{3}} & {\purple{4}} \end{array}\right)}$
$A\times B=\left(\begin{array}{cc} {0} & {1} \end{array}\right)\mathop{\left(\begin{array}{cc} {3} & {4} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {2} & {5} \\ {3} & {4} \end{array}\right)}$
Finalement :

$A$ est une matrice à $3$ lignes et $3$ colonnes. On dit que $A$ est une matrice carrée d'ordre $3$.
$B$ est une matrice à $3$ lignes et $3$ colonnes. On dit que $B$ est une matrice carrée d'ordre $3$.
Le nombre de colonnes de $A$ est égale au nombre de lignes de $B$. On peut donc calculer $A\times B$.
Soient $A=\left(\begin{array}{ccc} {\red{1}} & {\red{0}} & {\red{2}} \\ {\blue{-1}} & {\blue{3}} & {\blue{4}} \\ {\orange{0}} & {\orange{0}} & {\orange{1}} \end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{ccc} {\pink{2}} & {\purple{4}} & {\green{0}} \\ {\pink{0}} & {\purple{-2}} & {\green{3}} \\ {\pink{1}} & {\purple{2}} & {\green{1}} \end{array}\right)$ .
Il vient alors que :
$A\times B=\left(\begin{array}{ccc} {\red{1}} & {\red{0}} & {\red{2}} \\ {\blue{-1}} & {\blue{3}} & {\blue{4}} \\ {\orange{0}} & {\orange{0}} & {\orange{1}} \end{array}\right)\mathop{\left(\begin{array}{ccc} {\red{1}\times \pink{2}+\red{0}\times \pink{0}+\red{2}\times \pink{1}} & {\red{1}\times \purple{4}+\red{0}\times \left(\purple{-2}\right)+\red{2}\times \purple{2}} & {\red{1}\times \green{0}+\red{0}\times \green{3}+\red{2}\times \green{1}} \\ {\left(\blue{-1}\right)\times \pink{2}+\blue{3}\times \pink{0}+\blue{4}\times \pink{1}} & {\left(\blue{-1}\right)\times \purple{4}+\blue{3}\times \left(\purple{-2}\right)+\blue{4}\times \purple{2}} & {\left(\blue{-1}\right)\times \green{0}+\blue{3}\times \green{3}+\blue{4}\times \green{1}} \\ {\orange{0}\times \pink{2}+\orange{0}\times \pink{0}+\orange{1}\times \pink{1}} & {\orange{0}\times \purple{4}+\orange{0}\times \left(\purple{-2}\right)+\orange{1}\times \purple{2}} & {\orange{0}\times\green{0}+\orange{0}\times\green{3}+\orange{1}\times\green{1}} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{ccc} {\pink{2}} & {\purple{4}} & {\green{0}} \\ {\pink{0}} & {\purple{-2}} & {\green{3}} \\ {\pink{1}} & {\purple{2}} & {\green{1}} \end{array}\right)}$

$A\times B=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {2} \\ {-1} & {3} & {4} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right)\mathop{\left(\begin{array}{ccc} {4} & {8} & {2} \\ {2} & {-2} & {13} \\ {1} & {2} & {1} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{ccc} {2} & {4} & {0} \\ {0} & {-2} & {3} \\ {1} & {2} & {1} \end{array}\right)}$
Il en résulte donc que :

$A$ est une matrice à $3$ lignes et $2$ colonnes.
$B$ est une matrice à $3$ lignes et $2$ colonnes.
Le nombre de colonnes de $A$ $\red{\text{n'est pas égale}}$ au nombre de lignes de $B$. On $\red{\text{ne peut donc pas}}$ calculer $A\times B$.

$A$ est une matrice à $2$ lignes et $2$ colonnes. On dit que $A$ est une matrice carrée d'ordre $2$.
$B$ est une matrice à $2$ lignes et $1$ colonne.
Le nombre de colonnes de $A$ est égale au nombre de lignes de $B$. On peut donc calculer $A\times B$.
Soient $A=\left(\begin{array}{cc} {\red{-3}} & {\red{1}} \\ {\blue{-2}} & {\blue{6}} \end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{cc} {\pink{0}} \\ {\pink{4}} \end{array}\right)$
Il vient alors que :
$A\times B=\left(\begin{array}{cc} {\red{-3}} & {\red{1}} \\ {\blue{-2}} & {\blue{6}} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{c} {\red{-3}\times \pink{0}+\red{1}\times \pink{4}} \\ {\blue{-2}\times \pink{0}+\blue{6}\times \pink{4}} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{c} {\pink{0}} \\ {\pink{4}} \end{array}\right)}}$
$A\times B=\left(\begin{array}{cc} {\red{-3}} & {\red{1}} \\ {\blue{-2}} & {\blue{6}} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{c} {4} \\ {24} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{c} {\pink{0}} \\ {\pink{4}} \end{array}\right)}}$
Finalement :

Il faut se rappeler que : $A^2=A\times A$
$A^{2} =\left(\begin{array}{cc} {0} & {2} \\ {-1} & {3} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {0\times 0+2\times \left(-1\right)} & {0\times 2+2\times 3} \\ {-1\times 0+3\times \left(-1\right)} & {-1\times 2+3\times 3} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {0} & {2} \\ {-1} & {3} \end{array}\right)}}$
$A^{2} =\left(\begin{array}{cc} {0} & {2} \\ {-1} & {3} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {-2} & {6} \\ {-3} & {7} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {0} & {2} \\ {-1} & {3} \end{array}\right)}}$
Ainsi :