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Matrices et transformations géométriques dans le plan : La translation - Exercice 1

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Question 1

Dans un repère orthonormé direct (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right), on donne le point A(2;3)A\left(2; 3\right) .
Déterminer les coordonnées du point BB image du point AA par la translation de vecteur u→(51)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {5 } \\ {1 } \end{array}\right) .

Correction
On se place dans un repère orthonormé direct (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) du plan.
  • Soient A(xA;yA)A\left(x_{A}; y_{A}\right) et B(xB;yB)B\left(x_{B}; y_{B}\right) deux points du plan et un vecteur u→(xu→yu→)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x_{\overrightarrow{u} } } \\ {y_{\overrightarrow{u} } } \end{array}\right) .
  • BB est l'image de AA par la translation\red{\text{la translation}} de vecteur u→\overrightarrow{u} si et seulement si (xByB)=(xAyA)+(xu→yu→)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {x_{A} } \\ {y_{A} } \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {x_{\overrightarrow{u} } } \\ {y_{\overrightarrow{u} } } \end{array}\right)
    • D'après le rappel, nous savons que :
    (xByB)=(xAyA)+(xu→yu→)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {x_{A} } \\ {y_{A} } \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {x_{\overrightarrow{u} } } \\ {y_{\overrightarrow{u} } } \end{array}\right)
    (xByB)=(23)+(51)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {2 } \\ {3 } \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {5 } \\ {1 } \end{array}\right)
    Ainsi :
    (xByB)=(74)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {7 } \\ {4 } \end{array}\right)

    Les coordonnées du point BB image du point AA par la translation de vecteur u→(51)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {5 } \\ {1 } \end{array}\right) sont alors B(7;4)B\left(7; 4\right)
    Question 2

    Dans un repère orthonormé direct (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right), on donne le point A(5;−1)A\left(5; -1\right) .
    Déterminer les coordonnées du point BB image du point AA par la translation de vecteur u→(30)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {0} \end{array}\right) .

    Correction
    On se place dans un repère orthonormé direct (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) du plan.
  • Soient A(xA;yA)A\left(x_{A}; y_{A}\right) et B(xB;yB)B\left(x_{B}; y_{B}\right) deux points du plan et un vecteur u→(xu→yu→)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x_{\overrightarrow{u} } } \\ {y_{\overrightarrow{u} } } \end{array}\right) .
  • BB est l'image de AA par la translation\red{\text{la translation}} de vecteur u→\overrightarrow{u} si et seulement si (xByB)=(xAyA)+(xu→yu→)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {x_{A} } \\ {y_{A} } \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {x_{\overrightarrow{u} } } \\ {y_{\overrightarrow{u} } } \end{array}\right)
    • D'après le rappel, nous savons que :
    (xByB)=(xAyA)+(xu→yu→)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {x_{A} } \\ {y_{A} } \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {x_{\overrightarrow{u} } } \\ {y_{\overrightarrow{u} } } \end{array}\right)
    (xByB)=(5−1)+(30)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {5} \\ {-1 } \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {3} \\ {0} \end{array}\right)
    Ainsi :
    (xByB)=(8−1)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {8} \\ {-1} \end{array}\right)

    Les coordonnées du point BB image du point AA par la translation de vecteur u→(30)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {0} \end{array}\right) sont alors B(8;−1)B\left(8;-1\right)
    Question 3

    Dans un repère orthonormé direct (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right), on donne le point A(6;−4)A\left(6; -4\right) .
    Déterminer les coordonnées du point BB image du point AA par la translation de vecteur u→(−2−1)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {-1} \end{array}\right) .

    Correction
    On se place dans un repère orthonormé direct (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) du plan.
  • Soient A(xA;yA)A\left(x_{A}; y_{A}\right) et B(xB;yB)B\left(x_{B}; y_{B}\right) deux points du plan et un vecteur u→(xu→yu→)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {x_{\overrightarrow{u} } } \\ {y_{\overrightarrow{u} } } \end{array}\right) .
  • BB est l'image de AA par la translation\red{\text{la translation}} de vecteur u→\overrightarrow{u} si et seulement si (xByB)=(xAyA)+(xu→yu→)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {x_{A} } \\ {y_{A} } \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {x_{\overrightarrow{u} } } \\ {y_{\overrightarrow{u} } } \end{array}\right)
    • D'après le rappel, nous savons que :
    (xByB)=(xAyA)+(xu→yu→)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {x_{A} } \\ {y_{A} } \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {x_{\overrightarrow{u} } } \\ {y_{\overrightarrow{u} } } \end{array}\right)
    (xByB)=(6−4)+(−2−1)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {6 } \\ {-4} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} {-2} \\ {-1 } \end{array}\right)
    Ainsi :
    (xByB)=(4−5)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {4 } \\ {-5 } \end{array}\right)

    Les coordonnées du point BB image du point AA par la translation de vecteur u→(−2−1)\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {-1} \end{array}\right) sont alors B(4;−5)B\left(4;-5\right)