Calcul matriciel

Matrices et transformations géométriques dans le plan : La symétrie axiale par rapport à l'axe des ordonnées - Exercice 1

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Question 1

Dans un repère orthonormé direct (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right), on donne le point A(3;5)A\left(3;5\right) .
Déterminer les coordonnées du point BB image du point AA par la symétrie axiale par rapport à l'axe des ordonnées.

Correction
On se place dans un repère orthonormé direct (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) du plan.
  • Soient A(xA;yA)A\left(x_{A}; y_{A}\right) et B(xB;yB)B\left(x_{B}; y_{B}\right) deux points du plan .
  • BB est l'image de AA par symeˊtrie axiale par rapport aˋ l’axe des ordonneˊes\red{\text{symétrie axiale par rapport à l'axe des ordonnées}} si et seulement si (xByB)=(−1001)×(xAyA)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {-1} & {0} \\ {0} & {1} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {x_{A} } \\ {y_{A} } \end{array}\right)
    • Il nous suffit d'appliquer la formule du rappel. Il vient alors que :
    (xByB)=(−1001)×(xAyA)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {-1} & {0} \\ {0} & {1} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {x_{A} } \\ {y_{A} } \end{array}\right)
    (xByB)=(−1001)×(35)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {{\color{blue}{-1}}} & {{\color{blue}{0}}} \\ {{\color{red}{0}}} & {{\color{red}{1}}} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {{\color{green}{3}} } \\ {{\color{green}{5}} } \end{array}\right)
    (xByB)=((−1)×3+0×50×3+1×5)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {\left({\color{blue}{-1}}\right)\times {\color{green}{3}}+{\color{blue}{0}}\times {\color{green}{5}}} \\ {{\color{red}{0}}\times \color{green}{3}+{\color{red}{1}}\times 5} \end{array}\right)
    (xByB)=(−3+00+5)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {-3+0} \\ {0+5} \end{array}\right)
    Ainsi :
    (xByB)=(−35)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {-3} \\ {5} \end{array}\right)

    Les coordonnées du point BB image du point AA par la symétrie axiale par rapport à l'axe des ordonnées sont B(−3;5)B\left(-3;5\right)