Calcul matriciel

Matrices et transformations géométriques dans le plan : La symétrie axiale par rapport à l'axe des abscisses - Exercice 2

3 min
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Question 1

Dans un repère orthonormé direct (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right), on donne le point A(−2;3)A\left(-2;3\right) .
Déterminer les coordonnées du point BB image du point AA par la symétrie axiale par rapport à l'axe des abscisses.

Correction
On se place dans un repère orthonormé direct (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) du plan.
  • Soient A(xA;yA)A\left(x_{A}; y_{A}\right) et B(xB;yB)B\left(x_{B}; y_{B}\right) deux points du plan .
  • BB est l'image de AA par symeˊtrie axiale par rapport aˋ l’axe des abscisses\red{\text{symétrie axiale par rapport à l'axe des abscisses}} si et seulement si (xByB)=(100−1)×(xAyA)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {0} & {-1} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {x_{A} } \\ {y_{A} } \end{array}\right)
    • Il nous suffit d'appliquer la formule du rappel. Il vient alors que :
    (xByB)=(100−1)×(xAyA)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {0} & {-1} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {x_{A} } \\ {y_{A} } \end{array}\right)
    (xByB)=(100−1)×(−23)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {{\color{blue}{1}}} & {{\color{blue}{0}}} \\ {{\color{red}{0}}} & {{\color{red}{-1}}} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {{\color{green}{-2}} } \\ {{\color{green}{3}} } \end{array}\right)
    (xByB)=(1×(−2)+0×30×(−2)+(−1)×3)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {{\color{blue}{1}}\times {\color{green}{\left(-2\right)}}+{\color{blue}{0}}\times {\color{green}{3}}} \\ {{\color{red}{0}}\times \color{green}{\left(-2\right)}+\left({\color{red}{-1}}\right)\times 3} \end{array}\right)
    (xByB)=(−2+00−3)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {-2+0} \\ {0-3} \end{array}\right)
    Ainsi :
    (xByB)=(−2−3)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {-2} \\ {-3} \end{array}\right)

    Les coordonnées du point BB image du point AA par la symétrie axiale par rapport à l'axe des abscisses sont B(−2;−3)B\left(-2;-3\right)