Calcul matriciel

Matrices et transformations géométriques dans le plan : La rotation - Exercice 3

5 min
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Question 1

Dans un repère orthonormé direct (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right), on donne le point A(−1;3)A\left(-1;3\right) .
Déterminer les coordonnées du point BB image du point AA par la rotation de centre OO et d'angle 3π4\frac{3\pi}{4} .

Correction
On se place dans un repère orthonormé direct (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) du plan.
  • Soient A(xA;yA)A\left(x_{A}; y_{A}\right) et B(xB;yB)B\left(x_{B}; y_{B}\right) deux points du plan .
  • BB est l'image de AA par la rotation\red{\text{la rotation}} de centre OO et d'angle θ\theta si et seulement si (xByB)=(cos⁡(θ)−sin⁡(θ)sin⁡(θ)cos⁡(θ))×(xAyA)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {\cos \left(\theta \right)} & {-\sin \left(\theta \right)} \\ {\sin \left(\theta \right)} & {\cos \left(\theta \right)} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {x_{A} } \\ {y_{A} } \end{array}\right)
    • La matrice associée à la rotation de centre OO et d'angle 3π4\frac{3\pi}{4} est : (cos⁡(3π4)−sin⁡(3π4)sin⁡(3π4)cos⁡(3π4))\left(\begin{array}{cc} {\cos \left(\frac{3\pi}{4} \right)} & {-\sin \left(\frac{3\pi}{4} \right)} \\ {\sin \left(\frac{3\pi}{4} \right)} & {\cos \left(\frac{3\pi}{4} \right)} \end{array}\right)
    Nous appliquons la formule du rappel, il vient alors que :
    (xByB)=(cos⁡(3π4)−sin⁡(3π4)sin⁡(3π4)cos⁡(3π4))×(−13)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {\cos \left(\frac{3\pi}{4} \right)} & {-\sin \left(\frac{3\pi}{4} \right)} \\ {\sin \left(\frac{3\pi}{4}\right)} & {\cos \left(\frac{3\pi}{4} \right)} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {3} \end{array}\right)
    (xByB)=(−22−2222−22)×(−13)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {{\color{blue}{-\frac{\sqrt{2}}{2}}}} & {{\color{blue}{-\frac{\sqrt{2}}{2}}}} \\ {{\color{red}{\frac{\sqrt{2}}{2}}}} & {{\color{red}{-\frac{\sqrt{2}}{2}}}} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {{\color{green}{-1}} } \\ {{\color{green}{3}} } \end{array}\right)
    (xByB)=((−22)×(−1)−22×322×(−1)+(−22)×3)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {{\color{blue}{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}}\times {\color{green}{\left(-1\right)}}-{\color{blue}{\frac{\sqrt{2}}{2}}}\times {\color{green}{3}}} \\ {{\color{red}{\frac{\sqrt{2}}{2}}}\times \color{green}{\left(-1\right)}+{\color{red}{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}}\times \color{green}{3}} \end{array}\right)
    Ainsi :
    (xByB)=(−2−22)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {-\sqrt{2}} \\ {-2\sqrt{2} } \end{array}\right)

    Les coordonnées du point BB image du point AA par la rotation de centre OO et d'angle 3π4\frac{3\pi}{4} sont B(−2;−22)B\left(-\sqrt{2};-2\sqrt{2}\right)