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Matrices et transformations géométriques dans le plan : La rotation - Exercice 2

5 min
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Question 1

Dans un repère orthonormé direct (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right), on donne le point A(4;6)A\left(4;6\right) .
Déterminer les coordonnées du point BB image du point AA par la rotation de centre OO et d'angle π6\frac{\pi}{6} .

Correction
On se place dans un repère orthonormé direct (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) du plan.
  • Soient A(xA;yA)A\left(x_{A}; y_{A}\right) et B(xB;yB)B\left(x_{B}; y_{B}\right) deux points du plan .
  • BB est l'image de AA par la rotation\red{\text{la rotation}} de centre OO et d'angle θ\theta si et seulement si (xByB)=(cos⁡(θ)−sin⁡(θ)sin⁡(θ)cos⁡(θ))×(xAyA)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {\cos \left(\theta \right)} & {-\sin \left(\theta \right)} \\ {\sin \left(\theta \right)} & {\cos \left(\theta \right)} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {x_{A} } \\ {y_{A} } \end{array}\right)
    • La matrice associée à la rotation de centre OO et d'angle π6\frac{\pi}{6} est : (cos⁡(π6)−sin⁡(π6)sin⁡(π6)cos⁡(π6))\left(\begin{array}{cc} {\cos \left(\frac{\pi}{6} \right)} & {-\sin \left(\frac{\pi}{6} \right)} \\ {\sin \left(\frac{\pi}{6} \right)} & {\cos \left(\frac{\pi}{6} \right)} \end{array}\right)
    Nous appliquons la formule du rappel, il vient alors que :
    (xByB)=(cos⁡(π6)−sin⁡(π6)sin⁡(π6)cos⁡(π6))×(46)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {\cos \left(\frac{\pi}{6} \right)} & {-\sin \left(\frac{\pi}{6} \right)} \\ {\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)} & {\cos \left(\frac{\pi}{6} \right)} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {4 } \\ {6 } \end{array}\right)
    (xByB)=(32−121232)×(46)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {{\color{blue}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}} & {{\color{blue}{-\frac{1}{2}}}} \\ {{\color{red}{\frac{1}{2}}}} & {{\color{red}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {{\color{green}{4}} } \\ {{\color{green}{6}} } \end{array}\right)
    (xByB)=(32×4+(−12)×612×4+32×6)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {{\color{blue}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}\times {\color{green}{4}}+\left({\color{blue}{-\frac{1}{2}}}\right)\times {\color{green}{6}}} \\ {{\color{red}{\frac{1}{2}}}\times \color{green}{4}+{\color{red}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}\times \color{green}{6}} \end{array}\right)
    Ainsi :
    (xByB)=(23−32+33)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {2\sqrt{3} -3} \\ {2+3\sqrt{3} } \end{array}\right)

    Les coordonnées du point BB image du point AA par la rotation de centre OO et d'angle π6\frac{\pi}{6} sont B(23−3;2+33)B\left(2\sqrt{3} -3;2+3\sqrt{3}\right)

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