Nouveau

🔥 Découvre nos fiches d'exercices gratuites avec corrections en vidéo !Accéder aux fiches  →

Calcul matriciel

Matrices et transformations géométriques dans le plan : La rotation - Exercice 1

4 min
10
Question 1

Dans un repère orthonormé direct (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right), on donne le point A(2;3)A\left(2; 3\right) .
Déterminer les coordonnées du point BB image du point AA par la rotation de centre OO et d'angle π2\frac{\pi}{2} .

Correction
On se place dans un repère orthonormé direct (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) du plan.
  • Soient A(xA;yA)A\left(x_{A}; y_{A}\right) et B(xB;yB)B\left(x_{B}; y_{B}\right) deux points du plan .
  • BB est l'image de AA par la rotation\red{\text{la rotation}} de centre OO et d'angle θ\theta si et seulement si (xByB)=(cos⁡(θ)−sin⁡(θ)sin⁡(θ)cos⁡(θ))×(xAyA)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {\cos \left(\theta \right)} & {-\sin \left(\theta \right)} \\ {\sin \left(\theta \right)} & {\cos \left(\theta \right)} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {x_{A} } \\ {y_{A} } \end{array}\right)
    • La matrice associée à la rotation de centre OO et d'angle π2\frac{\pi}{2} est : (cos⁡(π2)−sin⁡(π2)sin⁡(π2)cos⁡(π2))\left(\begin{array}{cc} {\cos \left(\frac{\pi}{2} \right)} & {-\sin \left(\frac{\pi}{2} \right)} \\ {\sin \left(\frac{\pi}{2} \right)} & {\cos \left(\frac{\pi}{2} \right)} \end{array}\right)
    Nous appliquons la formule du rappel, il vient alors que :
    (xByB)=(cos⁡(π2)−sin⁡(π2)sin⁡(π2)cos⁡(π2))×(23)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {\cos \left(\frac{\pi}{2} \right)} & {-\sin \left(\frac{\pi}{2} \right)} \\ {\sin \left(\frac{\pi}{2}\right)} & {\cos \left(\frac{\pi}{2} \right)} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {2 } \\ {3 } \end{array}\right)
    (xByB)=(0−110)×(23)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {{\color{blue}{0}}} & {{\color{blue}{-1}}} \\ {{\color{red}{1}}} & {{\color{red}{0}}} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {{\color{green}{2}} } \\ {{\color{green}{3}} } \end{array}\right)
    (xByB)=(0×2+(−1)×31×2+0×3)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {{\color{blue}{0}}\times {\color{green}{2}}+\left({\color{blue}{-1}}\right)\times {\color{green}{3}}} \\ {{\color{red}{1}}\times \color{green}{2}+{\color{red}{0}}\times 3} \end{array}\right)
    (xByB)=(0−32+0)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {0-3} \\ {2+0} \end{array}\right)
    Ainsi :
    (xByB)=(−32)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {-3} \\ {2} \end{array}\right)

    Les coordonnées du point BB image du point AA par la rotation de centre OO et d'angle π2\frac{\pi}{2} sont B(−3;2).B(-3;2).