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Matrices et transformations géométriques dans le plan : L'homothétie - Exercice 3

4 min
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Question 1

Dans un repère orthonormé direct (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right), on donne le point A(−1;3)A\left(-1;3\right) .
Déterminer les coordonnées du point BB image du point AA par l'homothétie de centre OO et de rapport −2-2 .

Correction
On se place dans un repère orthonormé direct (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) du plan.
  • Soient A(xA;yA)A\left(x_{A}; y_{A}\right) et B(xB;yB)B\left(x_{B}; y_{B}\right) deux points du plan et kk un réel.
  • BB est l'image de AA par l’homotheˊtie \red{\text{l'homothétie }} de centre OO et de rapport kk si et seulement si (xByB)=(k00k)×(xAyA)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {k} & {0} \\ {0} & {k} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {x_{A} } \\ {y_{A} } \end{array}\right)
    • La matrice associée à l'homothétie de centre OO et de rapport −2-2 est : (−200−2)\left(\begin{array}{cc} {-2} & {0} \\ {0} & {-2} \end{array}\right)
    Nous appliquons la formule du rappel, il vient alors que :
    (xByB)=(−200−2)×(−13)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {{\color{blue}{-2}}} & {{\color{blue}{0}}} \\ {{\color{red}{0}}} & {{\color{red}{-2}}} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {{\color{green}{-1}} } \\ {{\color{green}{3}} } \end{array}\right)
    (xByB)=(−2×(−1)+0×30×(−1)+(−2)×3)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {{\color{blue}{-2}}\times {\color{green}{\left(-1\right)}}+{\color{blue}{0}}\times {\color{green}{3}}} \\ {{\color{red}{0}}\times \color{green}{\left(-1\right)}+{\color{red}{\left(-2\right)}}\times 3} \end{array}\right)
    (xByB)=(2+00−6)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {2+0} \\ {0-6} \end{array}\right)
    Ainsi :
    (xByB)=(2−6)\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {2} \\ {-6} \end{array}\right)

    Les coordonnées du point BB image du point AA par l'homothétie de centre OO et de rapport −2-2 sont B(2;−6)B\left(2;-6\right)

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