Matrices et transformations géométriques dans le plan : L'homothétie - Exercice 2

4 min

Question 1

Dans un repère orthonormé direct $\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right)$ , on donne le point $A\left(4;8\right)$ .
Déterminer les coordonnées du point $B$ image du point $A$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $\frac{1}{2}$ .

Correction

On se place dans un repère orthonormé direct

\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right)

du plan.

Soient

A\left(x_{A}; y_{A}\right)

B\left(x_{B}; y_{B}\right)

deux points du plan et

k

un réel.

B

est l'image de

A

par

\red{\text{l'homothétie }}

de centre

O

et de rapport

k

si et seulement si

\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {k} & {0} \\ {0} & {k} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {x_{A} } \\ {y_{A} } \end{array}\right)

La matrice associée à l'homothétie de centre

O

et de rapport

\frac{1}{2}

est :

\left(\begin{array}{cc} {\frac{1}{2}} & {0} \\ {0} & {\frac{1}{2}} \end{array}\right)

Nous appliquons la formule du rappel, il vient alors que :

\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {{\color{blue}{\frac{1}{2}}}} & {{\color{blue}{0}}} \\ {{\color{red}{0}}} & {{\color{red}{\frac{1}{2}}}} \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {{\color{green}{4}} } \\ {{\color{green}{8}} } \end{array}\right)

\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {{\color{blue}{\frac{1}{2}}}\times {\color{green}{4}}+{\color{blue}{0}}\times {\color{green}{8}}} \\ {{\color{red}{0}}\times \color{green}{4}+{\color{red}{\frac{1}{2}}}\times 8} \end{array}\right)

\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {2+0} \\ {0+4} \end{array}\right)

Ainsi :

\left(\begin{array}{c} {x_{B} } \\ {y_{B} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {2} \\ {4} \end{array}\right)

Les coordonnées du point

B

image du point

A

par l'homothétie de centre

O

et de rapport

\frac{1}{2}

sont

B\left(2;4\right)