Les pièges du produit matriciel : commutativité, identités remarquables, produit nul - Exercice 1

20 min

{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Calculer.}

\;\;

{\color{red}2°)\;Raisonner.}

On considère les matrices

A=\left(\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {3} & {4} \end{array}\right)

B=\left(\begin{array}{cc} {0} & {1} \\ {1} & {0} \end{array}\right)

Question 1

Calculer $A\times B$ et $B\times A$ . Que remarque-t-on ?

Correction

Le coefficient situé à la ligne

i

et à la colonne

j

A\times B

est la somme des produits des coefficients de la ligne

i

A

par les coefficients correspondants de la colonne

j

B

\red{\text{D'une part :}}

calculons

A\times B

A\times B=\left(\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {3} & {4} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {1\times 0+2\times 1} & {1\times 1+2\times 0} \\ {3\times 0+4\times 1} & {3\times 1+4\times 0} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {0} & {1} \\ {1} & {0} \end{array}\right)}}

A\times B=\left(\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {3} & {4} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {2} & {1} \\ {4} & {3} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {0} & {1} \\ {1} & {0} \end{array}\right)}}

Ainsi :

A\times B=\left(\begin{array}{cc} {2} & {1} \\ {4} & {3} \end{array}\right)

\red{\text{D'autre part :}}

calculons

B\times A

B\times A=\left(\begin{array}{cc} {0} & {1} \\ {1} & {0} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {0\times 1+1\times 3} & {0\times 2+1\times 4} \\ {1\times 1+0\times 3} & {1\times 2+0\times 4} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {3} & {4} \end{array}\right)}}

B\times A=\left(\begin{array}{cc} {0} & {1} \\ {1} & {0} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {3} & {4} \\ {1} & {2} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {3} & {4} \end{array}\right)}}

Ainsi :

B\times A=\left(\begin{array}{cc} {3} & {4} \\ {1} & {2} \end{array}\right)

On remarque que

A\times B\ne B\times A

le produit de deux matrices n'est pas commutatif

L'ordre des facteurs compte : multiplier

A

par

B

à droite (

A\times B

) ou à gauche (

B\times A

) ne donne en général pas le même résultat.

Question 2

Calculer $\left(A+B\right)^{2}$ , puis $A^{2}+2AB+B^{2}$ . L'identité remarquable $\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ est-elle encore vraie pour les matrices ?

Correction

A+B=\left(\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {3} & {4} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} {0} & {1} \\ {1} & {0} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {1} & {3} \\ {4} & {4} \end{array}\right)

Il vient alors que :

\left(A+B\right)^{2}=\left(\begin{array}{cc} {1} & {3} \\ {4} & {4} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {1\times 1+3\times 4} & {1\times 3+3\times 4} \\ {4\times 1+4\times 4} & {4\times 3+4\times 4} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {1} & {3} \\ {4} & {4} \end{array}\right)}}

\left(A+B\right)^{2}=\left(\begin{array}{cc} {1} & {3} \\ {4} & {4} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {13} & {15} \\ {20} & {28} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {1} & {3} \\ {4} & {4} \end{array}\right)}}

Ainsi :

\left(A+B\right)^{2}=\left(\begin{array}{cc} {13} & {15} \\ {20} & {28} \end{array}\right)

D'autre part, en calculant comme à la question 1 :

A^{2}=\left(\begin{array}{cc} {7} & {10} \\ {15} & {22} \end{array}\right)

B^{2}=\left(\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {0} & {1} \end{array}\right)

2AB=2\left(\begin{array}{cc} {2} & {1} \\ {4} & {3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {4} & {2} \\ {8} & {6} \end{array}\right)

.
Donc

A^{2}+2AB+B^{2}=\left(\begin{array}{cc} {7} & {10} \\ {15} & {22} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} {4} & {2} \\ {8} & {6} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {0} & {1} \end{array}\right)

d'où

A^{2}+2AB+B^{2}=\left(\begin{array}{cc} {12} & {12} \\ {23} & {29} \end{array}\right)

Les deux résultats sont différents :

\left(A+B\right)^{2}\ne A^{2}+2AB+B^{2}

En effet

\left(A+B\right)^{2}=\left(A+B\right)\left(A+B\right)=A^{2}+AB+BA+B^{2}

, et

AB+BA\ne 2AB

car

AB\ne BA

.
On vérifie :

A^{2}+AB+BA+B^{2}=\left(\begin{array}{cc} {13} & {15} \\ {20} & {28} \end{array}\right)

, c'est bien

\left(A+B\right)^{2}

Question 3

Soit $M$ une matrice carrée d'ordre $2$ . Démontrer que $\left(A+M\right)^{2}=A^{2}+2AM+M^{2}$ si et seulement si $AM=MA$ .

Correction

En développant :

\left(A+M\right)^{2}=\left(A+M\right)\left(A+M\right)=A^{2}+AM+MA+M^{2}

.
Ainsi

\left(A+M\right)^{2}=A^{2}+2AM+M^{2}

équivaut successivement à :

A^{2}+AM+MA+M^{2}=A^{2}+2AM+M^{2}

AM+MA=2AM

MA=AM

Finalement :

\left(A+M\right)^{2}=A^{2}+2AM+M^{2}

si et seulement si

AM=MA

Les identités remarquables ne s'appliquent qu'à des matrices qui commutent.

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Les pièges du produit matriciel : commutativité, identités remarquables, produit nul - Exercice 1

Calculer A×BA\times BA×B et B×AB\times AB×A . Que remarque-t-on ?

Calculer (A+B)2\left(A+B\right)^{2}(A+B)2 , puis A2+2AB+B2A^{2}+2AB+B^{2}A2+2AB+B2 . L'identité remarquable (a+b)2=a2+2ab+b2\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}(a+b)2=a2+2ab+b2 est-elle encore vraie pour les matrices ?

Soit MMM une matrice carrée d'ordre 222 . Démontrer que (A+M)2=A2+2AM+M2\left(A+M\right)^{2}=A^{2}+2AM+M^{2}(A+M)2=A2+2AM+M2 si et seulement si AM=MAAM=MAAM=MA .

Calculer $A\times B$ et $B\times A$ . Que remarque-t-on ?

Calculer $\left(A+B\right)^{2}$ , puis $A^{2}+2AB+B^{2}$ . L'identité remarquable $\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ est-elle encore vraie pour les matrices ?

Soit $M$ une matrice carrée d'ordre $2$ . Démontrer que $\left(A+M\right)^{2}=A^{2}+2AM+M^{2}$ si et seulement si $AM=MA$ .