Calcul matriciel

Exercices types : 22ème partie

Exercice 1

On donne les matrices A=(1111)A=\left(\begin{array}{cc} {1} & {1} \\ {1} & {1} \end{array}\right) et P=(1111)P=\left(\begin{array}{cc} {-1} & {1} \\ {1} & {1} \end{array}\right)
1

Démontrer que la matrice PP est inversible et donner alors l'expression de P1P^{-1} .

Correction
Soit DD la matrice carrée d'ordre 22 telle que : D=P1×A×PD=P^{-1} \times A\times P
2

Calculer DD.

Correction
3

Expliquer pourquoi nous pouvons écrire que : A=P×D×P1A= P\times D\times P^{-1}

Correction
4

Pour tout entier naturel nn non nul, conjecturer une expression de DnD^{n} .

Correction
5

Démontrer cette conjecture par récurrence.

Correction
Pour tout entier naturel nn non nul, on admet que : An=P×Dn×P1A^{n}= P\times D^{n}\times P^{-1}
6

Pour tout entier naturel nn non nul, exprimer AnA^{n} en fonction de nn .

Correction
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