Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 1

Soit $$P=\left(\begin{array}{cc} {\red{-1}} & {\blue{1}} \\ {\pink{1}} & {\green{1}} \end{array}\right)$$
On a :
$$\det \left(P\right)=\red{-1}\times \green{1}-\blue{1}\times \pink{1}$$
$$\det \left(P\right)=-1-1$$
Finalement :
Comme $$\det \left(P\right)\ne 0$$ alors la matrice $$P$$ est $$\red{\text{inversible}}$$.
La matrice inverse de $$P$$ notée $$P^{-1}$$ est alors égale à :
$$P^{-1} =\frac{1}{\det \left(P\right)} \left(\begin{array}{cc} {\green{d}} & {-\blue{b}} \\ {-\pink{c}} & {\red{a}} \end{array}\right)$$
$$P^{-1} =\frac{1}{-2} \left(\begin{array}{cc} {\green{1}} & {-\blue{1}} \\ {-\pink{1}} & {\red{-1}} \end{array}\right)$$
Finalement :

$$\purple{\text{Premièrement :}}$$ commençons par calculer $$P^{-1} \times A$$
$$P^{-1} \times A=\left(\begin{array}{cc} {-\frac{1}{2} } & {\frac{1}{2} } \\ {\frac{1}{2} } & {\frac{1}{2} } \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {-\frac{1}{2} \times 1+\frac{1}{2} \times 1} & {-\frac{1}{2} \times 1+\frac{1}{2} \times 1} \\ {\frac{1}{2} \times 1+\frac{1}{2} \times 1} & {\frac{1}{2} \times 1+\frac{1}{2} \times 1} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {1} & {1} \\ {1} & {1} \end{array}\right)}}$$
$$P^{-1} \times A=\left(\begin{array}{cc} {-\frac{1}{2} } & {\frac{1}{2} } \\ {\frac{1}{2} } & {\frac{1}{2} } \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {0} & {0} \\ {1} & {1} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {1} & {1} \\ {1} & {1} \end{array}\right)}}$$
$$\red{P^{-1} \times A=\left(\begin{array}{cc} {0} & {0} \\ {1} & {1} \end{array}\right)}$$
$$\purple{\text{Deuxièmement:}}$$ nous pouvons calculer maintenant $$D$$
$$D=\red{P^{-1} \times A}\times P$$
$$D=\red{\left(\begin{array}{cc} {0} & {0} \\ {1} & {1} \end{array}\right)}{\mathop{\left(\begin{array}{cc} {0\times \left(-1\right)+0\times 1} & {0\times 1+0\times 1} \\ {-1\times 1+1\times 1} & {1\times 1+1\times 1} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {-1} & {1} \\ {1} & {1} \end{array}\right)}}$$
$$D=\left(\begin{array}{cc} {0} & {0} \\ {1} & {1} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {0} & {0} \\ {0} & {2} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {-1} & {1} \\ {1} & {1} \end{array}\right)}}$$
Finalement :

$$D=P^{-1} \times A\times P$$ . $$\;\;\;$$Nous allons multiplier par la matrice $$\red{P}$$ à gauche de chaque membre de l'égalité .
$$\red{P\times} D=\red{P\times} P^{-1} \times A\times P$$
Comme $$P^{-1}$$ est la matrice inverse de $$P$$ alors $$P\times P^{-1}=I_{2}$$ et $$P^{-1}\times P=I_{2}$$ . Il vient alors que :
$$P\times D=I_{2} \times A\times P$$ . $$\;\;\;$$ Or : $$I_{2} \times A=A$$ .
$$P\times D=A\times P$$
$$P\times D\pink{\times P^{-1}} =A\times P\pink{\times P^{-1}}$$ $$\;\;\;$$Nous allons multiplier par la matrice $$\pink{P^{-1}}$$ à droite de chaque membre de l'égalité .
$$P\times D\times P^{-1} =A\times I_{2}$$
Ainsi :

D'après la question $$2$$, nous savons que : $$D=\left(\begin{array}{cc} {0} & {0} \\ {0} & {2} \end{array}\right)$$
A l'aide de la calculatrice, on remarque que :
$$D^{2}=\left(\begin{array}{cc} {0} & {0} \\ {0} & {4} \end{array}\right)$$ que l'on peut écrire $$D^{2}=\left(\begin{array}{cc} {0} & {0} \\ {0} & {2^2} \end{array}\right)$$
$$D^{3}=\left(\begin{array}{cc} {0} & {0} \\ {0} & {8} \end{array}\right)$$ que l'on peut écrire $$D^{3}=\left(\begin{array}{cc} {0} & {0} \\ {0} & {2^3} \end{array}\right)$$
$$D^{4}=\left(\begin{array}{cc} {0} & {0} \\ {0} & {16} \end{array}\right)$$ que l'on peut écrire $$D^{4}=\left(\begin{array}{cc} {0} & {0} \\ {0} & {2^4} \end{array}\right)$$
$$D^{5}=\left(\begin{array}{cc} {0} & {0} \\ {0} & {32} \end{array}\right)$$ que l'on peut écrire $$D^{5}=\left(\begin{array}{cc} {0} & {0} \\ {0} & {2^5} \end{array}\right)$$
Pour tout entier naturel $$n$$ non nul, on conjecture que $$D^{n}=\left(\begin{array}{cc} {0} & {0} \\ {0} & {2^n} \end{array}\right)$$ .

Pour tout entier naturel $$n$$ non nul , posons la propriété $$P_{n} :D^{n} =\left(\begin{array}{cc} {0 } & {0} \\ {0} & {2^{n} } \end{array}\right)$$
$$\red{\text{Etape d'initialisation :}}$$
On sait que $$D^{1}=D$$
La propriété $$P_{1}$$ est vraie.
$$\red{\text{Etape d'hérédité :}}$$
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire $$D^{k} =\left(\begin{array}{cc} {0 } & {0} \\ {0} & {2^{k} } \end{array}\right)$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire $$D^{k+1} =\left(\begin{array}{cc} {0 } & {0} \\ {0} & {2^{k+1} } \end{array}\right)$$
Nous savons que $$D^{k+1} =D^{k} \times D$$ .
$$D^{k+1} =\left(\begin{array}{cc} {0} & {0} \\ {0} & {2^{k} } \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {0\times 0+0\times 0} & {0\times 0+0\times 0} \\ {0\times 0+2^{k} \times 0} & {0\times 0+2^{k} \times 2} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {0} & {0} \\ {0} & {2} \end{array}\right)}}$$
$$D^{k+1} =\left(\begin{array}{cc} {0} & {0} \\ {0} & {2^{k} } \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {0} & {0} \\ {0} & {2^{k+1} } \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {0} & {0} \\ {0} & {2} \end{array}\right)}}$$
$$D^{k+1} =\left(\begin{array}{cc} {0} & {0} \\ {0} & {2^{k+1} } \end{array}\right)$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\red{\text{Conclusion :}}$$
Puisque la propriété $$P_{1}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$ non nul, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$ non nul, on a bien :

$$\purple{\text{Premièrement :}}$$ commençons par calculer $$P \times D^{n}$$
$$P\times D^{n} =\left(\begin{array}{cc} {-1} & {1} \\ {1} & {1} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {-1\times 0+1\times 0} & {-1\times 0+1\times 2^{n} } \\ {1\times 0+1\times 0} & {1\times 0+1\times 2^{n} } \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {0} & {0} \\ {0} & {2^{n} } \end{array}\right)}}$$
$$P\times D^{n} =\left(\begin{array}{cc} {-1} & {1} \\ {1} & {1} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {0} & {2^{n} } \\ {0} & {2^{n} } \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {0} & {0} \\ {0} & {2^{n} } \end{array}\right)}}$$
$$P\times D^{n} =\left(\begin{array}{cc} {0} & {2^{n} } \\ {0} & {2^{n} } \end{array}\right)$$
$$\purple{\text{Deuxièmement:}}$$ nous pouvons calculer maintenant $$A^n$$
$$A^{n}= \red{P\times D^{n}}\times P^{-1}$$
$$A^{n} =\red{\left(\begin{array}{cc} {0} & {2^{n} } \\ {0} & {2^{n} } \end{array}\right)}{\mathop{\left(\begin{array}{cc} {0\times \left(-\frac{1}{2} \right)+2^{n} \times \frac{1}{2} } & {0\times \frac{1}{2} +2^{n} \times \frac{1}{2} } \\ {0\times \left(-\frac{1}{2} \right)+2^{n} \times \frac{1}{2} } & {0\times \frac{1}{2} +2^{n} \times \frac{1}{2} } \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {-\frac{1}{2} } & {\frac{1}{2} } \\ {\frac{1}{2} } & {\frac{1}{2} } \end{array}\right)}}$$
$$A^{n} =\left(\begin{array}{cc} {0} & {2^{n} } \\ {0} & {2^{n} } \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {2^{n} \times \frac{1}{2} } & {2^{n} \times \frac{1}{2} } \\ {2^{n} \times \frac{1}{2} } & {2^{n} \times \frac{1}{2} } \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {-\frac{1}{2} } & {\frac{1}{2} } \\ {\frac{1}{2} } & {\frac{1}{2} } \end{array}\right)}}$$
$$A^{n} =\left(\begin{array}{cc} {0} & {2^{n} } \\ {0} & {2^{n} } \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {\frac{2^{n} }{2} } & {\frac{2^{n} }{2} } \\ {\frac{2^{n} }{2} } & {\frac{2^{n} }{2} } \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {-\frac{1}{2} } & {\frac{1}{2} } \\ {\frac{1}{2} } & {\frac{1}{2} } \end{array}\right)}}$$
$$A^{n} =\left(\begin{array}{cc} {0} & {2^{n} } \\ {0} & {2^{n} } \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {2^{n-1} } & {2^{n-1} } \\ {2^{n-1} } & {2^{n-1} } \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {-\frac{1}{2} } & {\frac{1}{2} } \\ {\frac{1}{2} } & {\frac{1}{2} } \end{array}\right)}}$$
Ainsi :