Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 2

Notons $$f$$ la fonction polynôme du second degré telle que : $$f\left(x\right)=ax^{2} +bx+c$$ où $$a$$ est un réel non nul et $$b$$ et $$c$$ deux réels.
Nous savons que la courbe représentative est une parabole $$\mathscr{C_f}$$ passant par les points $$A\left(1;-8\right)$$, $$B\left(4;22\right)$$ et $$C\left(-3;36\right)$$. Cela se traduit donc par $$f\left(1\right)=9$$ ; $$f\left(4\right)=22$$ et $$f\left(-3\right)=36$$ .
Il en résulte donc que :

$$f\left(1\right)=-8\Leftrightarrow a\times 1^{2} +b\times 1+c=-8\Leftrightarrow a+b+c=-8$$

$$f\left(4\right)=22\Leftrightarrow a\times 4^{2} +b\times 4+c=22\Leftrightarrow 16a+4b+c=22$$

$$f\left(-3\right)=36\Leftrightarrow a\times \left(-3\right)^{2} +b\times \left(-3\right)+c=36\Leftrightarrow 9a-3b+c=36$$

Nous obtenons donc un système linéaire que l'on note $$S_{3}$$ .
$$S_{3} :\left\{\begin{array}{ccccccc} {a} & {+} & {b} & {+} & {c} & {=} & {-8} \\ {16a} & {+} & {4b} & {+} & {c} & {=} & {22} \\ {9a} & {-} & {3b} & {+} & {c} & {=} & {36} \end{array}\right.$$

$$S_{3} :\left\{\begin{array}{ccccccc} {a} & {+} & {b} & {+} & {c} & {=} & {-8} \\ {16a} & {+} & {4b} & {+} & {c} & {=} & {22} \\ {9a} & {-} & {3b} & {+} & {c} & {=} & {36} \end{array}\right.$$
Le système $$S_{3}$$ s'écrit sous forme matricielle $$AX=B$$ avec $$A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {1} & {1} \\ {16} & {4} & {1} \\ {9} & {-3} & {1} \end{array}\right)$$ ; $$X=\left(\begin{array}{c} {a} \\ {b} \\ {c} \end{array}\right)$$ et $$B=\left(\begin{array}{c} {-8} \\ {22} \\ {36} \end{array}\right)$$.

Il nous faut donc calculer $$A\times E$$ et $$E\times A$$. Nous allons détailler le calcul pour $$A\times E$$ et pour $$E\times A$$ nous donnerons le résultat à la calculatrice.
$$\text{\blue{D'une part :}}$$
$$A\times E=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {1} & {1} \\ {16} & {4} & {1} \\ {9} & {-3} & {1} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{ccc} {1\times \left(-\frac{1}{12} \right)+1\times \frac{1}{12} +1\times 1} & {1\times \frac{1}{21} +1\times \frac{2}{21} +1\times \left(-\frac{1}{7} \right)} & {1\times \frac{1}{28} +1\times \left(-\frac{5}{28} \right)+1\times \frac{1}{7} } \\ {16\times \left(-\frac{1}{12} \right)+4\times \frac{1}{12} +1\times 1} & {16\times \frac{1}{21} +4\times \frac{2}{21} +1\times \left(-\frac{1}{7} \right)} & {16\times \frac{1}{28} +4\times \left(-\frac{5}{28} \right)+1\times \frac{1}{7} } \\ {9\times \left(-\frac{1}{12} \right)+\left(-3\right)\times \frac{1}{12} +1\times 1} & {9\times \frac{1}{21} +\left(-3\right)\times \frac{2}{21} +1\times \left(-\frac{1}{7} \right)} & {9\times \frac{1}{28} +\left(-3\right)\times \left(-\frac{5}{28} \right)+1\times \frac{1}{7} } \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{ccc} {-\frac{1}{12} } & {\frac{1}{21} } & {\frac{1}{28} } \\ {\frac{1}{12} } & {\frac{2}{21} } & {-\frac{5}{28} } \\ {1} & {-\frac{1}{7} } & {\frac{1}{7} } \end{array}\right)}}$$
$$A\times E=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {1} & {1} \\ {16} & {4} & {1} \\ {9} & {-3} & {1} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{ccc} {-\frac{1}{12} } & {\frac{1}{21} } & {\frac{1}{28} } \\ {\frac{1}{12} } & {\frac{2}{21} } & {-\frac{5}{28} } \\ {1} & {-\frac{1}{7} } & {\frac{1}{7} } \end{array}\right)}}$$
$$A\times E=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right)$$
Ainsi :
$$\text{\blue{D'autre part : Avec la calculatrice}}$$
On obtient :
$$\text{\blue{Conclusion :}}$$
Il en résulte donc que $$E$$ est bien la matrice inverse de $$A$$ .

Le système $$S_{3}$$ s'écrit sous forme matricielle $$AX=B$$
Nous savons alors que :
$$AX=B$$
$$\red{E} \times AX=\red{E} \times B$$ . On a introduit la matrice $$\red{E}$$ et on rappelle que $$\red{E} \times A=I_{3}$$
$$I_{3} \times X=E \times B$$
$$X=E\times B$$
Ici, avons démontré un résultat du cours. Nous aurions pu également directement utiliser un théorème du cours . Mais dans tous les cas, soit la démonstration ou la formule conviendra ( à vous de choisir ;) )$$X=\left(\begin{array}{ccc} {-\frac{1}{12} } & {\frac{1}{21} } & {\frac{1}{28} } \\ {\frac{1}{12} } & {\frac{2}{21} } & {-\frac{5}{28} } \\ {1} & {-\frac{1}{7} } & {\frac{1}{7} } \end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c} {-8} \\ {22} \\ {36} \end{array}\right)$$
En faisant le calcul à l'aide de la calculatrice, on obtient :
$$X= \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-5} \\ {-6} \end{array}\right)$$
Finalement, la fonction polynôme du second degré dont la courbe représentative est la parabole $$\mathscr{C_f}$$ passant par les points $$A\left(1;-8\right)$$, $$B\left(4;22\right)$$ et $$C\left(-3;36\right)$$ s'écrit $$f\left(x\right)=3x^2-5x-6$$