Équations matricielles, inverse d'un produit et matrices non inversibles - Exercice 1

25 min
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COMPETENCES‾  :  1°)  Calculer.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Calculer.}     \;\; 2°)  Raisonner.{\color{red}2°)\;Raisonner.}
On considère les matrices A=(2153)A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {1} \\ {5} & {3} \end{array}\right) et B=(1021)B=\left(\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {2} & {1} \end{array}\right) .
Question 1

Démontrer que AA est inversible et déterminer A−1A^{-1} .

Correction
  • Soit A=(abcd)A=\left(\begin{array}{cc} {\red{a}} & {\blue{b}} \\ {\pink{c}} & {\green{d}} \end{array}\right) une matrice carrée d'ordre 22. On appelle deˊterminant\red{\text{déterminant}} de AA le nombre det⁡(A)=a×d−b×c\det \left(A\right)=\red{a}\times \green{d}-\blue{b}\times \pink{c} .
  • La matrice AA est inversible\red{\text{inversible}} si et seulement si det⁡(A)≠0\det \left(A\right)\ne 0 et la matrice inverse de AA est égale à A−1=1det⁡(A)(d−b−ca)A^{-1} =\dfrac{1}{\det \left(A\right)} \left(\begin{array}{cc} {\green{d}} & {-\blue{b}} \\ {-\pink{c}} & {\red{a}} \end{array}\right)
Soit A=(2153)A=\left(\begin{array}{cc} {\red{2}} & {\blue{1}} \\ {\pink{5}} & {\green{3}} \end{array}\right)
On a :
det⁡(A)=2×3−1×5\det \left(A\right)=\red{2}\times \green{3}-\blue{1}\times \pink{5}
det⁡(A)=6−5\det \left(A\right)=6-5
Finalement :
det⁡(A)=1\det \left(A\right)=1

Comme det⁡(A)≠0\det \left(A\right)\ne 0 alors la matrice AA est inversible\red{\text{inversible}}.
La matrice inverse de AA notée A−1A^{-1} est alors égale à :
A−1=1det⁡(A)(d−b−ca)A^{-1} =\dfrac{1}{\det \left(A\right)} \left(\begin{array}{cc} {\green{d}} & {-\blue{b}} \\ {-\pink{c}} & {\red{a}} \end{array}\right)
A−1=11(3−1−52)A^{-1} =\dfrac{1}{1} \left(\begin{array}{cc} {\green{3}} & {-\blue{1}} \\ {-\pink{5}} & {\red{2}} \end{array}\right)
Finalement :
A−1=(3−1−52)A^{-1} =\left(\begin{array}{cc} {3} & {-1} \\ {-5} & {2} \end{array}\right)

Question 2

Résoudre l'équation AX=BAX=B d'inconnue XX , matrice carrée d'ordre 22 .

Correction
AX=BAX=B équivaut successivement à :
A−1×AX=A−1×BA^{-1}\times AX=A^{-1}\times B . On multiplie aˋ gauche\red{\text{à gauche}} par A−1A^{-1} .
I2×X=A−1×BI_{2}\times X=A^{-1}\times B
X=A−1×BX=A^{-1}\times B
Il vient alors que :
X=(3−1−52)(3×1+(−1)×23×0+(−1)×1(−5)×1+2×2(−5)×0+2×1)(1021)X=\left(\begin{array}{cc} {3} & {-1} \\ {-5} & {2} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {3\times 1+\left(-1\right)\times 2} & {3\times 0+\left(-1\right)\times 1} \\ {\left(-5\right)\times 1+2\times 2} & {\left(-5\right)\times 0+2\times 1} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {2} & {1} \end{array}\right)}}
X=(3−1−52)(1−1−12)(1021)X=\left(\begin{array}{cc} {3} & {-1} \\ {-5} & {2} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {1} & {-1} \\ {-1} & {2} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {2} & {1} \end{array}\right)}}
Finalement :
X=(1−1−12)X=\left(\begin{array}{cc} {1} & {-1} \\ {-1} & {2} \end{array}\right)

Question 3

Résoudre l'équation XA=BXA=B . Les deux équations ont-elles la même solution ?

Correction
XA=BXA=B équivaut successivement à :
XA×A−1=B×A−1XA\times A^{-1}=B\times A^{-1} . On multiplie aˋ droite\red{\text{à droite}} par A−1A^{-1} .
X×I2=B×A−1X\times I_{2}=B\times A^{-1}
X=B×A−1X=B\times A^{-1}
Il vient alors que :
X=(1021)(1×3+0×(−5)1×(−1)+0×22×3+1×(−5)2×(−1)+1×2)(3−1−52)X=\left(\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {2} & {1} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {1\times 3+0\times \left(-5\right)} & {1\times \left(-1\right)+0\times 2} \\ {2\times 3+1\times \left(-5\right)} & {2\times \left(-1\right)+1\times 2} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {3} & {-1} \\ {-5} & {2} \end{array}\right)}}
X=(1021)(3−110)(3−1−52)X=\left(\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {2} & {1} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {3} & {-1} \\ {1} & {0} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {3} & {-1} \\ {-5} & {2} \end{array}\right)}}
Finalement :
X=(3−110)X=\left(\begin{array}{cc} {3} & {-1} \\ {1} & {0} \end{array}\right)

Les deux solutions sont différentes : le produit n'étant pas commutatif, il faut multiplier par A−1A^{-1} du bon côté.

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