Devoir type n°2 (2 h) - Exercice 1

40 min

{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;1°)\;Raisonner.}

\;\;

{\color{red}2°)\;Calculer.}

On considère les matrices

A=\left(\begin{array}{cc} {3} & {-2} \\ {1} & {0} \end{array}\right)

P=\left(\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {1} & {1} \end{array}\right)

.
Barème : 8 points

Question 1

Calculer $A^{2}$ et vérifier que $A^{2}=3A-2I_{2}$ .

Correction

\red{\text{D'une part :}}

A^{2}=\left(\begin{array}{cc} {3} & {-2} \\ {1} & {0} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {3\times 3+\left(-2\right)\times 1} & {3\times \left(-2\right)+\left(-2\right)\times 0} \\ {1\times 3+0\times 1} & {1\times \left(-2\right)+0\times 0} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {3} & {-2} \\ {1} & {0} \end{array}\right)}}

A^{2}=\left(\begin{array}{cc} {3} & {-2} \\ {1} & {0} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {7} & {-6} \\ {3} & {-2} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {3} & {-2} \\ {1} & {0} \end{array}\right)}}

\red{\text{D'autre part :}}

3A-2I_{2}=\left(\begin{array}{cc} {9} & {-6} \\ {3} & {0} \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {0} & {2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {7} & {-6} \\ {3} & {-2} \end{array}\right)

Ainsi :

A^{2}=3A-2I_{2}

Question 2

En déduire que $A$ est inversible et exprimer $A^{-1}$ en fonction de $A$ et de $I_{2}$ , puis calculer $A^{-1}$ .

Correction

Une matrice carrée

A

d'ordre

n

est inversible si et seulement s'il existe une matrice

B

telle que

A\times B=I_{n}

\red{\text{et}}

B\times A=I_{n}

où

I_{n}

correspond à la matrice identité .

A^{2}=3A-2I_{2}

équivaut successivement à :

3A-A^{2}=2I_{2}

A\left(3I_{2}-A\right)=2I_{2}

A\times \dfrac{1}{2}\left(3I_{2}-A\right)=I_{2}

De même

\dfrac{1}{2}\left(3I_{2}-A\right)\times A=I_{2}

, car

A

commute avec

I_{2}

.
Ainsi

A

est inversible et

A^{-1}=\dfrac{1}{2}\left(3I_{2}-A\right)

3I_{2}-A=\left(\begin{array}{cc} {3} & {0} \\ {0} & {3} \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} {3} & {-2} \\ {1} & {0} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {0} & {2} \\ {-1} & {3} \end{array}\right)

d'où

A^{-1}=\left(\begin{array}{cc} {0} & {1} \\ \rule{0pt}{1.9em}{-\dfrac{1}{2}} & {\dfrac{3}{2}} \end{array}\right)

Question 3

Démontrer que $P$ est inversible et déterminer $P^{-1}$ .

Correction

Soit $A=\left(\begin{array}{cc} {\red{a}} & {\blue{b}} \\ {\pink{c}} & {\green{d}} \end{array}\right)$ une matrice carrée d'ordre $2$ . On appelle $\red{\text{déterminant}}$ de $A$ le nombre $\det \left(A\right)=\red{a}\times \green{d}-\blue{b}\times \pink{c}$ .
La matrice $A$ est $\red{\text{inversible}}$ si et seulement si $\det \left(A\right)\ne 0$ et la matrice inverse de $A$ est égale à $A^{-1} =\dfrac{1}{\det \left(A\right)} \left(\begin{array}{cc} {\green{d}} & {-\blue{b}} \\ {-\pink{c}} & {\red{a}} \end{array}\right)$

Soit

P=\left(\begin{array}{cc} {\red{1}} & {\blue{2}} \\ {\pink{1}} & {\green{1}} \end{array}\right)

On a :

\det \left(P\right)=\red{1}\times \green{1}-\blue{2}\times \pink{1}

\det \left(P\right)=1-2

Finalement :

\det \left(P\right)=-1

Comme

\det \left(P\right)\ne 0

alors la matrice

P

est

\red{\text{inversible}}

.
La matrice inverse de

P

notée

P^{-1}

est alors égale à :

P^{-1} =\dfrac{1}{\det \left(P\right)} \left(\begin{array}{cc} {\green{d}} & {-\blue{b}} \\ {-\pink{c}} & {\red{a}} \end{array}\right)

P^{-1} =\dfrac{1}{-1} \left(\begin{array}{cc} {\green{1}} & {-\blue{2}} \\ {-\pink{1}} & {\red{1}} \end{array}\right)

Finalement :

P^{-1} =-\left(\begin{array}{cc} {1} & {-2} \\ {-1} & {1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {-1} & {2} \\ {1} & {-1} \end{array}\right)

Question 4

Calculer la matrice $D=P^{-1}AP$ .

Correction

On calcule d'abord

AP

AP=\left(\begin{array}{cc} {3} & {-2} \\ {1} & {0} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {3\times 1+\left(-2\right)\times 1} & {3\times 2+\left(-2\right)\times 1} \\ {1\times 1+0\times 1} & {1\times 2+0\times 1} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {1} & {1} \end{array}\right)}}

AP=\left(\begin{array}{cc} {3} & {-2} \\ {1} & {0} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {1} & {4} \\ {1} & {2} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {1} & {1} \end{array}\right)}}

Puis :

D=P^{-1}\left(AP\right)=\left(\begin{array}{cc} {-1} & {2} \\ {1} & {-1} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {\left(-1\right)\times 1+2\times 1} & {\left(-1\right)\times 4+2\times 2} \\ {1\times 1+\left(-1\right)\times 1} & {1\times 4+\left(-1\right)\times 2} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {1} & {4} \\ {1} & {2} \end{array}\right)}}

D=P^{-1}\left(AP\right)=\left(\begin{array}{cc} {-1} & {2} \\ {1} & {-1} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {0} & {2} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {1} & {4} \\ {1} & {2} \end{array}\right)}}

Finalement :

D=\left(\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {0} & {2} \end{array}\right)

Question 5

Justifier que $A=PDP^{-1}$ , puis démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ , $A^{n}=PD^{n}P^{-1}$ .

Correction

En multipliant

D=P^{-1}AP

à gauche par

P

et à droite par

P^{-1}

PDP^{-1}=\left(PP^{-1}\right)A\left(PP^{-1}\right)=A

.
Pour tout entier naturel

n

, posons la propriété

\mathcal{P}_{n} :A^{n}=PD^{n}P^{-1}

\red{\text{Étape d'initialisation :}}

Pour

n=0

PD^{0}P^{-1}=PI_{2}P^{-1}=PP^{-1}=I_{2}=A^{0}

. La propriété

\mathcal{P}_{0}

est vraie.

\red{\text{Étape d'hérédité :}}

On suppose qu'il existe un entier

k

tel que la propriété

\mathcal{P}_{k}

soit vraie c'est-à-dire

A^{k}=PD^{k}P^{-1}

et vérifions si la propriété est également vraie au rang

k+1

c'est-à-dire

A^{k+1}=PD^{k+1}P^{-1}

A^{k+1}=A^{k}\times A=PD^{k}P^{-1}\times PDP^{-1}=PD^{k}\left(P^{-1}P\right)DP^{-1}=PD^{k}DP^{-1}=PD^{k+1}P^{-1}

Ainsi la propriété

\mathcal{P}_{k+1}

est vraie.

\red{\text{Conclusion :}}

Puisque la propriété

\mathcal{P}_{0}

est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel

n

, on a bien :

A^{n}=PD^{n}P^{-1}

Question 6

On admet que, pour tout entier naturel $n$ , $D^{n}=\left(\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {0} & {2^{n}} \end{array}\right)$ . En déduire l'expression de $A^{n}$ en fonction de $n$ .

Correction

PD^{n}=\left(\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {1} & {1} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {1\times 1+2\times 0} & {1\times 0+2\times 2^{n}} \\ {1\times 1+1\times 0} & {1\times 0+1\times 2^{n}} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {0} & {2^{n}} \end{array}\right)}}=\left(\begin{array}{cc} {1} & {2^{n+1}} \\ {1} & {2^{n}} \end{array}\right)

A^{n}=\left(PD^{n}\right)P^{-1}=\left(\begin{array}{cc} {1} & {2^{n+1}} \\ {1} & {2^{n}} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {1\times \left(-1\right)+2^{n+1}\times 1} & {1\times 2+2^{n+1}\times \left(-1\right)} \\ {1\times \left(-1\right)+2^{n}\times 1} & {1\times 2+2^{n}\times \left(-1\right)} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {-1} & {2} \\ {1} & {-1} \end{array}\right)}}

Finalement :

A^{n}=\left(\begin{array}{cc} {2^{n+1}-1} & {2-2^{n+1}} \\ {2^{n}-1} & {2-2^{n}} \end{array}\right)

Vérification avec

n=1

: on retrouve

\left(\begin{array}{cc} {3} & {-2} \\ {1} & {0} \end{array}\right)=A

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Devoir type n°2 (2 h) - Exercice 1

Calculer A2A^{2}A2 et vérifier que A2=3A−2I2A^{2}=3A-2I_{2}A2=3A−2I2​ .

En déduire que AAA est inversible et exprimer A−1A^{-1}A−1 en fonction de AAA et de I2I_{2}I2​ , puis calculer A−1A^{-1}A−1 .

Démontrer que PPP est inversible et déterminer P−1P^{-1}P−1 .

Calculer la matrice D=P−1APD=P^{-1}APD=P−1AP .

Justifier que A=PDP−1A=PDP^{-1}A=PDP−1 , puis démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nnn , An=PDnP−1A^{n}=PD^{n}P^{-1}An=PDnP−1 .

On admet que, pour tout entier naturel nnn , Dn=(1002n)D^{n}=\left(\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {0} & {2^{n}} \end{array}\right)Dn=(10​02n​) . En déduire l'expression de AnA^{n}An en fonction de nnn .

Calculer $A^{2}$ et vérifier que $A^{2}=3A-2I_{2}$ .

En déduire que $A$ est inversible et exprimer $A^{-1}$ en fonction de $A$ et de $I_{2}$ , puis calculer $A^{-1}$ .

Démontrer que $P$ est inversible et déterminer $P^{-1}$ .

Calculer la matrice $D=P^{-1}AP$ .

Justifier que $A=PDP^{-1}$ , puis démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ , $A^{n}=PD^{n}P^{-1}$ .

On admet que, pour tout entier naturel $n$ , $D^{n}=\left(\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {0} & {2^{n}} \end{array}\right)$ . En déduire l'expression de $A^{n}$ en fonction de $n$ .