Devoir type n°1 (1 h) - Exercice 1

20 min

{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;Calculer}

On considère les matrices

A=\left(\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {-1} & {3} \end{array}\right)

B=\left(\begin{array}{cc} {2} & {-1} \\ {0} & {1} \end{array}\right)

.
Barème : 6 points

Question 1

Calculer $2A-B$ .

Correction

2A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {4} \\ {-2} & {6} \end{array}\right)

, donc

2A-B=\left(\begin{array}{cc} {2} & {4} \\ {-2} & {6} \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} {2} & {-1} \\ {0} & {1} \end{array}\right)

d'où

2A-B=\left(\begin{array}{cc} {0} & {5} \\ {-2} & {5} \end{array}\right)

Question 2

Correction

Le coefficient situé à la ligne

i

et à la colonne

j

A\times B

est la somme des produits des coefficients de la ligne

i

A

par les coefficients correspondants de la colonne

j

B

A\times B=\left(\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {-1} & {3} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {1\times 2+2\times 0} & {1\times \left(-1\right)+2\times 1} \\ {\left(-1\right)\times 2+3\times 0} & {\left(-1\right)\times \left(-1\right)+3\times 1} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {2} & {-1} \\ {0} & {1} \end{array}\right)}}

A\times B=\left(\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {-1} & {3} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {2} & {1} \\ {-2} & {4} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {2} & {-1} \\ {0} & {1} \end{array}\right)}}

B\times A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {-1} \\ {0} & {1} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {2\times 1+\left(-1\right)\times \left(-1\right)} & {2\times 2+\left(-1\right)\times 3} \\ {0\times 1+1\times \left(-1\right)} & {0\times 2+1\times 3} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {-1} & {3} \end{array}\right)}}

B\times A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {-1} \\ {0} & {1} \end{array}\right){\mathop{\left(\begin{array}{cc} {3} & {1} \\ {-1} & {3} \end{array}\right)}\limits^{\left(\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {-1} & {3} \end{array}\right)}}

Les deux produits sont différents :

A\times B\ne B\times A

Question 3

Correction

Soit $A=\left(\begin{array}{cc} {\red{a}} & {\blue{b}} \\ {\pink{c}} & {\green{d}} \end{array}\right)$ une matrice carrée d'ordre $2$ . On appelle $\red{\text{déterminant}}$ de $A$ le nombre $\det \left(A\right)=\red{a}\times \green{d}-\blue{b}\times \pink{c}$ .
La matrice $A$ est $\red{\text{inversible}}$ si et seulement si $\det \left(A\right)\ne 0$ et la matrice inverse de $A$ est égale à $A^{-1} =\dfrac{1}{\det \left(A\right)} \left(\begin{array}{cc} {\green{d}} & {-\blue{b}} \\ {-\pink{c}} & {\red{a}} \end{array}\right)$

Soit

A=\left(\begin{array}{cc} {\red{1}} & {\blue{2}} \\ {-\pink{1}} & {\green{3}} \end{array}\right)

On a :

\det \left(A\right)=\red{1}\times \green{3}-\blue{2}\times \left(-\pink{1}\right)

\det \left(A\right)=3-\left(-2\right)

Finalement :

\det \left(A\right)=5

Comme

\det \left(A\right)\ne 0

alors la matrice

A

est

\red{\text{inversible}}

.
La matrice inverse de

A

notée

A^{-1}

est alors égale à :

A^{-1} =\dfrac{1}{\det \left(A\right)} \left(\begin{array}{cc} {\green{d}} & {-\blue{b}} \\ {-\pink{c}} & {\red{a}} \end{array}\right)

A^{-1} =\dfrac{1}{5} \left(\begin{array}{cc} {\green{3}} & {-\blue{2}} \\ {\pink{1}} & {\red{1}} \end{array}\right)

Finalement :

A^{-1} =\dfrac{1}{5} \left(\begin{array}{cc} {3} & {-2} \\ {1} & {1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {\dfrac{3}{5}} & {-\dfrac{2}{5}} \\ \rule{0pt}{1.9em}{\dfrac{1}{5}} & {\dfrac{1}{5}} \end{array}\right)

Signaler une erreur

Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.