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Loi exponentielle - Exercice 6

5 min
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Question 1

Déterminer la valeur de λ\lambda pour que la probabilité P(0≤X≤200)=12P\left(0\le X\le 200\right)=\frac{1}{2}. On donnera une valeur exacte de λ\lambda .

Correction

La fonction de densité de probabilité de la loi exponentielle sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[ est f(x)=λe−λxf\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x} où λ\lambda est un réel positif.
  • P(a≤X≤b)=∫abλe−λxdx=[−e−λx]ab=e−λa−e−λbP\left(a\le X\le b\right)=\int _{a}^{b}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{a}^{b} =e^{-\lambda a} -e^{-\lambda b}
  • P(X≤a)=P(0≤X≤a)=∫0aλe−λxdx=[−e−λx]0a=1−e−λaP\left(X\le a\right)=P\left(0\le X\le a\right)=\int _{0}^{a}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{0}^{a} =1-e^{-\lambda a}
  • P(X≥a)=1−P(X≤a)=1−(1−e−λa)=e−λaP\left(X\ge a\right)=1-P\left(X\le a\right)=1-\left(1-e^{-\lambda a} \right)=e^{-\lambda a}
P(0≤X≤200)=∫0200λe−λxdx=[−e−λx]0200=e−λ×0−e−λ×200=1−e−200λP\left(0\le X\le 200\right)=\int _{0}^{200}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{0}^{200} =e^{-\lambda \times0} -e^{-\lambda \times 200}=1 -e^{-200\lambda}
Or nous savons que : P(0≤X≤200)=12P\left(0\le X\le 200\right)=\frac{1}{2}
Il en résulte donc que :
1−e−200λ=121 -e^{-200\lambda}=\frac{1}{2}
−e−200λ=−12-e^{-200\lambda } =-\frac{1}{2}
e−200λ=12e^{-200\lambda } =\frac{1}{2}
ln⁡(e−200λ)=ln⁡(12)\ln \left(e^{-200\lambda } \right)=\ln \left(\frac{1}{2} \right)
ln⁡(e−200λ)=ln⁡(12)\ln \left(e^{-200\lambda } \right)=\ln \left(\frac{1}{2} \right)
−200λ=ln⁡(12)-200\lambda =\ln \left(\frac{1}{2} \right)
−200λ=−ln⁡(2)-200\lambda =-\ln \left(2\right)
λ=−ln⁡(2)−200\lambda =\frac{-\ln \left(2\right)}{-200}
Ainsi :
λ=ln⁡(2)200\lambda =\frac{\ln \left(2\right)}{200}

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