Se connecter
S'inscrire
Formules
Blog
Se connecter
Retour au chapitre
Lois de probabilités à densité
Loi exponentielle - Exercice 6
5 min
10
Question 1
Déterminer la valeur de
λ
\lambda
λ
pour que la probabilité
P
(
0
≤
X
≤
200
)
=
1
2
P\left(0\le X\le 200\right)=\frac{1}{2}
P
(
0
≤
X
≤
200
)
=
2
1
. On donnera une valeur exacte de
λ
\lambda
λ
.
Correction
La fonction de densité de probabilité de la loi exponentielle sur
[
0
;
+
∞
[
\left[0;+\infty \right[
[
0
;
+
∞
[
est
f
(
x
)
=
λ
e
−
λ
x
f\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x}
f
(
x
)
=
λ
e
−
λ
x
où
λ
\lambda
λ
est un réel positif.
P
(
a
≤
X
≤
b
)
=
∫
a
b
λ
e
−
λ
x
d
x
=
[
−
e
−
λ
x
]
a
b
=
e
−
λ
a
−
e
−
λ
b
P\left(a\le X\le b\right)=\int _{a}^{b}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{a}^{b} =e^{-\lambda a} -e^{-\lambda b}
P
(
a
≤
X
≤
b
)
=
∫
a
b
λ
e
−
λ
x
d
x
=
[
−
e
−
λ
x
]
a
b
=
e
−
λa
−
e
−
λb
P
(
X
≤
a
)
=
P
(
0
≤
X
≤
a
)
=
∫
0
a
λ
e
−
λ
x
d
x
=
[
−
e
−
λ
x
]
0
a
=
1
−
e
−
λ
a
P\left(X\le a\right)=P\left(0\le X\le a\right)=\int _{0}^{a}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{0}^{a} =1-e^{-\lambda a}
P
(
X
≤
a
)
=
P
(
0
≤
X
≤
a
)
=
∫
0
a
λ
e
−
λ
x
d
x
=
[
−
e
−
λ
x
]
0
a
=
1
−
e
−
λa
P
(
X
≥
a
)
=
1
−
P
(
X
≤
a
)
=
1
−
(
1
−
e
−
λ
a
)
=
e
−
λ
a
P\left(X\ge a\right)=1-P\left(X\le a\right)=1-\left(1-e^{-\lambda a} \right)=e^{-\lambda a}
P
(
X
≥
a
)
=
1
−
P
(
X
≤
a
)
=
1
−
(
1
−
e
−
λa
)
=
e
−
λa
P
(
0
≤
X
≤
200
)
=
∫
0
200
λ
e
−
λ
x
d
x
=
[
−
e
−
λ
x
]
0
200
=
e
−
λ
×
0
−
e
−
λ
×
200
=
1
−
e
−
200
λ
P\left(0\le X\le 200\right)=\int _{0}^{200}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{0}^{200} =e^{-\lambda \times0} -e^{-\lambda \times 200}=1 -e^{-200\lambda}
P
(
0
≤
X
≤
200
)
=
∫
0
200
λ
e
−
λ
x
d
x
=
[
−
e
−
λ
x
]
0
200
=
e
−
λ
×
0
−
e
−
λ
×
200
=
1
−
e
−
200
λ
Or nous savons que :
P
(
0
≤
X
≤
200
)
=
1
2
P\left(0\le X\le 200\right)=\frac{1}{2}
P
(
0
≤
X
≤
200
)
=
2
1
Il en résulte donc que :
1
−
e
−
200
λ
=
1
2
1 -e^{-200\lambda}=\frac{1}{2}
1
−
e
−
200
λ
=
2
1
−
e
−
200
λ
=
−
1
2
-e^{-200\lambda } =-\frac{1}{2}
−
e
−
200
λ
=
−
2
1
e
−
200
λ
=
1
2
e^{-200\lambda } =\frac{1}{2}
e
−
200
λ
=
2
1
ln
(
e
−
200
λ
)
=
ln
(
1
2
)
\ln \left(e^{-200\lambda } \right)=\ln \left(\frac{1}{2} \right)
ln
(
e
−
200
λ
)
=
ln
(
2
1
)
ln
(
e
−
200
λ
)
=
ln
(
1
2
)
\ln \left(e^{-200\lambda } \right)=\ln \left(\frac{1}{2} \right)
ln
(
e
−
200
λ
)
=
ln
(
2
1
)
−
200
λ
=
ln
(
1
2
)
-200\lambda =\ln \left(\frac{1}{2} \right)
−
200
λ
=
ln
(
2
1
)
−
200
λ
=
−
ln
(
2
)
-200\lambda =-\ln \left(2\right)
−
200
λ
=
−
ln
(
2
)
λ
=
−
ln
(
2
)
−
200
\lambda =\frac{-\ln \left(2\right)}{-200}
λ
=
−
200
−
ln
(
2
)
Ainsi :
λ
=
ln
(
2
)
200
\lambda =\frac{\ln \left(2\right)}{200}
λ
=
200
ln
(
2
)