Lois de probabilités à densité

Loi exponentielle - Exercice 5

8 min
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La connexion internet et le temps d'attente pour obtenir les résultats du bac le jour J est une angoisse pour les élèves.
Mais pas pour ceux qui travaillent sur jai20enmaths.com :)\blue{\text{Mais pas pour ceux qui travaillent sur jai20enmaths.com :)}}
On modélise ce temps d'attente en minutes derrière l'écran par une variable aléatoire XX qui suit une loi exponentielle de paramètre λ\lambda où λ>0\lambda >0
Une étude statistique a permis d'observer que le temps d'attente moyen pour obtenir ses notes à l'écran est de 20 minutes.
Question 1

Déterminer la valeur de λ\lambda

Correction
    Soit XX une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ\lambda alors son espérance mathématique vaut :
  • E(X)=1λE\left( X\right)=\frac{1}{\lambda}
On sait que l'espérance correspond à la moyenne.
Ainsi : E(X)=20E\left(X\right)=20 .
Or : E(X)=1λE\left(X\right)=\frac{1}{\lambda } , il vient alors que : 1λ=20⇔\frac{1}{\lambda } =20\Leftrightarrow
λ=0,05\lambda =0,05
Question 2

Quelle est la probabilité qu'un étudiant attende entre 1515 et 2020 minutes ?

Correction

La fonction de densité de probabilité de la loi exponentielle sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[ est f(x)=λe−λxf\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x} où λ\lambda est un réel positif.
  • P(a≤X≤b)=∫abλe−λxdx=[−e−λx]ab=e−λa−e−λbP\left(a\le X\le b\right)=\int _{a}^{b}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{a}^{b} =e^{-\lambda a} -e^{-\lambda b}
  • P(X≤a)=P(0≤X≤a)=∫0aλe−λxdx=[−e−λx]0a=1−e−λaP\left(X\le a\right)=P\left(0\le X\le a\right)=\int _{0}^{a}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{0}^{a} =1-e^{-\lambda a}
  • P(X≥a)=1−P(X≤a)=1−(1−e−λa)=e−λaP\left(X\ge a\right)=1-P\left(X\le a\right)=1-\left(1-e^{-\lambda a} \right)=e^{-\lambda a}
On calcule P(15≤X≤20)P\left(15\le X\le 20\right)
P(15≤X≤20)=∫15200,05e−0,05xdx=[−e−0,05x]1520=e−0,05×15−e−0,05×20P\left(15\le X\le 20\right)=\int _{15}^{20}0,05e^{-0,05x} dx=\left[-e^{-0,05x} \right] _{15}^{20} =e^{-0,05\times 15} -e^{-0,05\times 20}
P(15≤X≤20)=[−e−0,05x]1520P\left(15\le X\le 20\right)=\left[-e^{-0,05x} \right]_{15}^{20}
P(15≤X≤20)=e−0,05×15−e−0,05×20P\left(15\le X\le 20\right)=e^{-0,05\times 15} -e^{-0,05\times 20}
Ainsi :
P(15≤X≤20)≈0,104P\left(15\le X\le 20\right)\approx 0,104
Question 3

Un étudiant attend depuis 1515 minutes. Quelle est la probabilité qu'il doive attendre au moins 55 minutes de plus pour obtenir ses notes à l'écran ?

Correction
On doit calculer : PX≥15(X≤20)P_{X\ge 15} \left(X\le 20\right).
On va appliquer la formule sur les probabilités conditionnelles c'est-à-dire : PA(B)=P(A∩B)P(A)P_{A} \left(B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)}
PX≥15(X≤20)=P((X≥15)∩(X≤20))P(X≥15)P_{X\ge 15} \left(X\le 20\right)=\frac{P\left(\left(X\ge 15\right)\cap \left(X\le 20\right)\right)}{P\left(X\ge 15\right)} équivaut successivement à
PX≥15(X≤20)=P(15≤X≤20)P(X≥15)P_{X\ge 15} \left(X\le 20\right)=\frac{P\left(15\le X\le 20\right)}{P\left(X\ge 15\right)}
Calculons d'une part : P(15≤X≤20)P\left(15\le X\le 20\right) (valeur calculée à la question 2)
P(15≤X≤20)≈0,104P\left(15\le X\le 20\right)\approx 0,104

Calculons d'autre part : P(X≥15)P\left(X\ge 15\right)
P(X≥15)=1−P(X≤15)=1−∫0150,05e−0,05xdx=1−[−e−0,05x]015=e−0,05×15P\left(X\ge 15\right)=1-P\left(X\le 15\right)=1-\int _{0}^{15}0,05e^{-0,05x} dx=1-\left[-e^{-0,05x} \right] _{0}^{15} =e^{-0,05\times 15}
P(X≥15)=1−∫0150,05e−0,05xdxP\left(X\ge 15\right)=1-\int _{0}^{15}0,05e^{-0,05x} dx
P(X≥15)=1−[−e−0,05x]015P(X≥15)=e−0,05×15P\left(X\ge 15\right)=1-\left[-e^{-0,05x} \right]_{0}^{15} P\left(X\ge 15\right)=e^{-0,05\times 15}
P(X≥15)≈0,472P\left(X\ge 15\right)\approx 0,472

Comme : PX≥15(X≤20)=P(15≤X≤20)P(X≥15)P_{X\ge 15} \left(X\le 20\right)=\frac{P\left(15\le X\le 20\right)}{P\left(X\ge 15\right)}
Alors :
PX≥15(X≤20)≈0,220P_{X\ge 15} \left(X\le 20\right)\approx 0,220