Lois de probabilités à densité

Loi exponentielle - Exercice 4

5 min
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La durée en vie XX, en heure, des piles d'une calculatrice suit une loi exponentielle telle que P(X≤30)=0,1P\left(X\le 30\right)=0,1
Question 1

Déterminer le nombre d'heures cc telle que P(X≤c)=12P\left(X\le c\right)=\frac{1}{2} . On arrondira à l'entier inférieur.

Correction

La fonction de densité de probabilité de la loi exponentielle sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[ est f(x)=λe−λxf\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x} où λ\lambda est un réel positif.
  • P(a≤X≤b)=∫abλe−λxdx=[−e−λx]ab=e−λa−e−λbP\left(a\le X\le b\right)=\int _{a}^{b}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{a}^{b} =e^{-\lambda a} -e^{-\lambda b}
  • P(X≤a)=P(0≤X≤a)=∫0aλe−λxdx=[−e−λx]0a=1−e−λaP\left(X\le a\right)=P\left(0\le X\le a\right)=\int _{0}^{a}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{0}^{a} =1-e^{-\lambda a}
  • P(X≥a)=1−P(X≤a)=1−(1−e−λa)=e−λaP\left(X\ge a\right)=1-P\left(X\le a\right)=1-\left(1-e^{-\lambda a} \right)=e^{-\lambda a}
P(X≤c)=P(0≤X≤c)=∫0c0,03e−0,03xdx=[−e−0,03x]0c=1−e−0,03cP\left(X\le c\right)=P\left(0\le X\le c\right)=\int _{0}^{c}0,03e^{-0,03x} dx=\left[-e^{-0,03x} \right] _{0}^{c} =1-e^{-0,03c}
P(X≤c)=∫0c0,03e−0,03xdxP\left(X\le c\right)=\int _{0}^{c}0,03e^{-0,03x} dx
P(X≤c)=[−e−0,03x]0cP\left(X\le c\right)=\left[-e^{-0,03x} \right]_{0}^{c}
P(X≤c)=1−e−0,03cP\left(X\le c\right)=1-e^{-0,03c}
On résout alors : 1−e−0,03c=121-e^{-0,03c} =\frac{1}{2}
1−e−0,03c=121-e^{-0,03c} =\frac{1}{2} équivaut successivement à
e−0,03c=12e^{-0,03c} =\frac{1}{2}
e−0,03c=eln⁡(12)e^{-0,03c} =e^{\ln \left(\frac{1}{2} \right)}
−0,03c=ln⁡(12)-0,03c=\ln \left(\frac{1}{2} \right)
Finalement :
c=ln⁡(12)−0,03≈23,10c=\frac{\ln \left(\frac{1}{2} \right)}{-0,03} \approx 23,10