Lois de probabilités à densité

Loi exponentielle - Exercice 2

15 min
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On suppose que la durée de vie d'un téléphone suit une loi exponentielle. En moyenne, ces téléphones ont une durée de vie de 55 ans.
Question 1

Quelle est la valeur de λ\lambda ?

Correction
    Soit XX une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ\lambda alors son espérance mathématique vaut :
  • E(X)=1λE\left( X\right)=\frac{1}{\lambda}
On sait que l'espérance correspond à la moyenne.
Ainsi : E(X)=5E\left(X\right)=5 .
Or E(X)=1λE\left(X\right)=\frac{1}{\lambda } , il vient alors que : 1λ=5⇔\frac{1}{\lambda } =5\Leftrightarrow
λ=0,2\lambda =0,2
Question 2

Calculer la probabilité qu'un téléphone dépasse 55 ans de durée de vie.

Correction

La fonction de densité de probabilité de la loi exponentielle sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[ est f(x)=λe−λxf\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x} où λ\lambda est un réel positif.
  • P(a≤X≤b)=∫abλe−λxdx=[−e−λx]ab=e−λa−e−λbP\left(a\le X\le b\right)=\int _{a}^{b}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{a}^{b} =e^{-\lambda a} -e^{-\lambda b}
  • P(X≤a)=P(0≤X≤a)=∫0aλe−λxdx=[−e−λx]0a=1−e−λaP\left(X\le a\right)=P\left(0\le X\le a\right)=\int _{0}^{a}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{0}^{a} =1-e^{-\lambda a}
  • P(X≥a)=1−P(X≤a)=1−(1−e−λa)=e−λaP\left(X\ge a\right)=1-P\left(X\le a\right)=1-\left(1-e^{-\lambda a} \right)=e^{-\lambda a}
Ici, il s'agit de calculer P(X≥5)P\left(X\ge 5\right)
On a : P(X≥5)=1−P(X≤5)P\left(X\ge 5\right)=1-P\left(X\le 5\right)
D'où : P(X≥5)=1−P(0≤X≤5)P\left(X\ge 5\right)=1-P\left(0\le X\le 5\right)
Commençons par calculer : P(0≤X≤5)P\left(0\le X\le 5\right)
P(0≤X≤5)=∫05λe−λxdxP\left(0\le X\le 5\right)=\int _{0}^{5}\lambda e^{-\lambda x} dx
P(0≤X≤5)=∫050,2e−0,2xdxP\left(0\le X\le 5\right)=\int _{0}^{5}0,2e^{-0,2x} dx
P(0≤X≤5)=[−e−0,2x]05P\left(0\le X\le 5\right)=\left[-e^{-0,2x} \right]_{0}^{5}
P(0≤X≤5)=e−0,2×0−e−0,2×5P\left(0\le X\le 5\right)=e^{-0,2\times 0} -e^{-0,2\times 5}
Ainsi :
P(0≤X≤5)≈0,623P\left(0\le X\le 5\right)\approx 0,623

Or : P(X≥5)=1−P(0≤X≤5)=1−0,623P\left(X\ge 5\right)=1-P\left(0\le X\le 5\right)=1-0,623
D'où :
P(X≥5)≈0,377P\left(X\ge 5\right)\approx 0,377

La probabilité qu'un téléphone dépasse 5ans de durée de vie est alors de 0,3770,377.
Question 3

On sait qu'un téléphone a été utilisé 33 ans par le fils ainé. Il le donne à son frère cadet. Quelle est la probabilité que le téléphone dépasse 77 ans de durée de vie ?

Correction

La loi exponentielle est une loi sans vieillissement ou sans mémoire c'est-à-dire que :
∀t>0\forall t>0 et h>0h>0 on a PX≥t(X≥t+h)=P(X≥h)P_{X\ge t} \left(X\ge t+h\right)=P\left(X\ge h\right)
Il en résulte que d'après l'énoncé, on cherche à calculer :
PX≥3(X≥7)=PX≥3(X≥3+4)P_{X\ge 3} \left(X\ge 7\right)=P_{X\ge 3} \left(X\ge 3+4\right)
Donc d'après la formule ci-dessous :
PX≥3(X≥7)=P(X≥4)P_{X\ge 3} \left(X\ge 7\right)=P\left(X\ge 4\right)
On a :
P(X≥4)=1−P(X≤4)P\left(X\ge 4\right)=1-P\left(X\le 4\right) équivaut successivement à
P(X≥4)=1−P(0≤X≤4)P\left(X\ge 4\right)=1-P\left(0\le X\le 4\right)
Commençons par calculer : P(0≤X≤4)P\left(0\le X\le 4\right)
P(0≤X≤4)=∫04λe−λxdxP\left(0\le X\le 4\right)=\int _{0}^{4}\lambda e^{-\lambda x} dx équivaut successivement à
P(0≤X≤4)=∫040,2e−0,2xdxP\left(0\le X\le 4\right)=\int _{0}^{4}0,2e^{-0,2x} dx
P(0≤X≤4)=[−e−0,2x]04P\left(0\le X\le 4\right)=\left[-e^{-0,2x} \right]_{0}^{4}
P(0≤X≤4)=e−0,2×0−e−0,2×4P\left(0\le X\le 4\right)=e^{-0,2\times 0} -e^{-0,2\times 4}
Ainsi :
P(0≤X≤4)≈0,55P\left(0\le X\le 4\right)\approx 0,55

Or : P(X≥4)=1−P(0≤X≤4)=1−0,55P\left(X\ge 4\right)=1-P\left(0\le X\le 4\right)=1-0,55.
D'où :
P(X≥4)≈0,45P\left(X\ge 4\right)\approx 0,45

La probabilité qu'un téléphone dépasse 77 ans de durée de vie après que le frère ainé l'est utilisé 33 ans est alors de 0,450,45.