Lois de probabilités à densité

Loi exponentielle

Exercice 1

On note XX une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre λ=0,02\lambda =0,02
Déterminer les probabilités suivantes au millième près :
1

P(4X5)P\left(4\le X\le 5\right)

Correction
2

P(X4)P\left(X\le 4\right)

Correction
3

P(X3)P\left(X\ge 3\right)

Correction
4

P(X=1)P\left(X=1\right)

Correction
5

Calculer l'espérance de XX

Correction

Exercice 2

On suppose que la durée de vie d'un téléphone suit une loi exponentielle. En moyenne, ces téléphones ont une durée de vie de 55 ans.
1

Quelle est la valeur de λ\lambda ?

Correction
2

Calculer la probabilité qu'un téléphone dépasse 55 ans de durée de vie.

Correction
3

On sait qu'un téléphone a été utilisé 33 ans par le fils ainé. Il le donne à son frère cadet. Quelle est la probabilité que le téléphone dépasse 77 ans de durée de vie ?

Correction

Exercice 3

On considère une variable aléatoire XX suivant une loi exponentielle de paramètre λ\lambda λ>0\lambda >0
1

Déterminer la valeur de λ\lambda pour que la probabilité P(X3)=0,7P\left(X\ge 3\right)=0,7. On donnera une valeur approchée de λ\lambda à 10310^{-3} près.

Correction

Exercice 4

La durée en vie XX, en heure, des piles d'une calculatrice suit une loi exponentielle telle que P(X30)=0,1P\left(X\le 30\right)=0,1
1

Déterminer le nombre d'heures cc telle que P(Xc)=12P\left(X\le c\right)=\frac{1}{2} . On arrondira à l'entier inférieur.

Correction

Exercice 5

La connexion internet et le temps d'attente pour obtenir les résultats du bac le jour J est une angoisse pour les élèves.
Mais pas pour ceux qui travaillent sur jai20enmaths.com :)\blue{\text{Mais pas pour ceux qui travaillent sur jai20enmaths.com :)}}
On modélise ce temps d'attente en minutes derrière l'écran par une variable aléatoire XX qui suit une loi exponentielle de paramètre λ\lambda λ>0\lambda >0
Une étude statistique a permis d'observer que le temps d'attente moyen pour obtenir ses notes à l'écran est de 20 minutes.
1

Déterminer la valeur de λ\lambda

Correction
2

Quelle est la probabilité qu'un étudiant attende entre 1515 et 2020 minutes ?

Correction
3

Un étudiant attend depuis 1515 minutes. Quelle est la probabilité qu'il doive attendre au moins 55 minutes de plus pour obtenir ses notes à l'écran ?

Correction

Exercice 6

1

Déterminer la valeur de λ\lambda pour que la probabilité P(0X200)=12P\left(0\le X\le 200\right)=\frac{1}{2}. On donnera une valeur exacte de λ\lambda .

Correction
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