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Loi de densité - Exercice 5

10 min
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Question 1
Soit ff la fonction définie sur [−1;1]\left[-1;1\right] par f(x)=a(4−x2)f\left(x\right)=a\left(4-x^{2}\right) avec aa un réel positif. On admet que ff représente une densité de probabilité sur l'intervalle [−1;1]\left[-1;1\right] . On note XX une variable aléatoire de loi de densité ff.

Quelle est la valeur exacte de aa ?

Correction
ff étant une fonction de densité sur [−1;1]\left[-1;1\right], alors on sait que ff est continue sur [−1;1]\left[-1;1\right] et positive sur [−1;1]\left[-1;1\right].
Commençons par calculer : ∫−11f(x)dx\int _{-1}^{1}f\left(x\right)dx
∫−11f(x)dx=∫−11a(4−x2)dx\int _{-1}^{1}f\left(x\right)dx=\int _{-1}^{1}a\left(4-x^{2} \right) dx
∫−11f(x)dx=[a(4x−13x3)]−11\int _{-1}^{1}f\left(x\right)dx=\left[a\left(4x-\frac{1}{3} x^{3} \right)\right] _{-1}^{1}
∫−11f(x)dx=[4ax−13ax3]−11\int _{-1}^{1}f\left(x\right)dx=\left[4ax-\frac{1}{3} ax^{3} \right] _{-1}^{1}
∫−11f(x)dx=4a×1−13a×13−(4a×(−1)−13a×(−1)3)\int _{-1}^{1}f\left(x\right)dx=4a\times 1-\frac{1}{3} a\times 1^{3} -\left(4a\times \left(-1\right)-\frac{1}{3} a\times \left(-1\right)^{3} \right)
∫−11f(x)dx=4a−13a−(−4a+13a)\int _{-1}^{1}f\left(x\right)dx=4a-\frac{1}{3} a-\left(-4a+\frac{1}{3} a\right)
∫−11f(x)dx=4a−13a+4a−13a\int _{-1}^{1}f\left(x\right)dx=4a-\frac{1}{3} a+4a-\frac{1}{3} a
∫−11f(x)dx=8a−23a\int _{-1}^{1}f\left(x\right)dx=8a-\frac{2}{3} a
∫−11f(x)dx=223a\int _{-1}^{1}f\left(x\right)dx=\frac{22}{3} a
Afin que ff soit une fonction de densité sur [−1;1]\left[-1;1\right], il faut que : ∫−11a(4−x2)dx=1\int _{-1}^{1}a\left(4-x^{2} \right) dx=1.
D'où : 223a=1\frac{22}{3} a =1 ainsi :
a=322a=\frac{3}{22}

Il en résulte que : f(x)=322(4−x2)f\left(x\right)=\frac{3}{22}\left(4-x^{2}\right)
Question 2

Calculer l'espérance de XX.

Correction
L'espérance mathématique d'une variable aléatoire continue XX, de densité ff sur [a,b]\left[a,b\right] est : E(X)=∫abxf(x)dxE\left(X\right)=\int _{a}^{b}xf\left(x\right)dx
Ainsi :
E(X)=∫−11xf(x)dxE\left(X\right)=\int _{-1}^{1}xf\left(x\right)dx équivaut successivement à :
E(x)=∫−11x×(322(4−x2))dxE\left(x\right)=\int _{-1}^{1}x\times \left(\frac{3}{22} \left(4-x^{2} \right)\right) dx
E(x)=∫−11x×(322×4−322x2)dxE\left(x\right)=\int _{-1}^{1}x\times \left(\frac{3}{22} \times 4-\frac{3}{22} x^{2} \right) dx
E(x)=∫−11x×(611−322x2)dxE\left(x\right)=\int _{-1}^{1}x\times \left(\frac{6}{11} -\frac{3}{22} x^{2} \right) dx
E(x)=∫−11(611x−322x3)dxE\left(x\right)=\int _{-1}^{1}\left(\frac{6}{11} x-\frac{3}{22} x^{3} \right) dx
E(x)=[611×12x2−322×14x4]−11E\left(x\right)=\left[\frac{6}{11} \times \frac{1}{2} x^{2} -\frac{3}{22} \times \frac{1}{4} x^{4} \right]_{-1}^{1}
E(x)=311×12−388×14−(311×(−1)2−388×(−1)4)E\left(x\right)=\frac{3}{11} \times 1^{2} -\frac{3}{88} \times 1^{4} -\left(\frac{3}{11} \times \left(-1\right)^{2} -\frac{3}{88} \times \left(-1\right)^{4} \right)
E(x)=311−388−(311−388)E\left(x\right)=\frac{3}{11} -\frac{3}{88} -\left(\frac{3}{11} -\frac{3}{88} \right)
E(x)=0E\left(x\right)=0

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