Se connecter
S'inscrire
Formules
Blog
Se connecter
Retour au chapitre
Lois de probabilités à densité
Loi de densité - Exercice 5
10 min
25
Question 1
Soit
f
f
f
la fonction définie sur
[
−
1
;
1
]
\left[-1;1\right]
[
−
1
;
1
]
par
f
(
x
)
=
a
(
4
−
x
2
)
f\left(x\right)=a\left(4-x^{2}\right)
f
(
x
)
=
a
(
4
−
x
2
)
avec
a
a
a
un réel positif. On admet que
f
f
f
représente une densité de probabilité sur l'intervalle
[
−
1
;
1
]
\left[-1;1\right]
[
−
1
;
1
]
. On note
X
X
X
une variable aléatoire de loi de densité
f
f
f
.
Quelle est la valeur exacte de
a
a
a
?
Correction
f
f
f
étant une fonction de densité sur
[
−
1
;
1
]
\left[-1;1\right]
[
−
1
;
1
]
, alors on sait que
f
f
f
est continue sur
[
−
1
;
1
]
\left[-1;1\right]
[
−
1
;
1
]
et positive sur
[
−
1
;
1
]
\left[-1;1\right]
[
−
1
;
1
]
.
Commençons par calculer :
∫
−
1
1
f
(
x
)
d
x
\int _{-1}^{1}f\left(x\right)dx
∫
−
1
1
f
(
x
)
d
x
∫
−
1
1
f
(
x
)
d
x
=
∫
−
1
1
a
(
4
−
x
2
)
d
x
\int _{-1}^{1}f\left(x\right)dx=\int _{-1}^{1}a\left(4-x^{2} \right) dx
∫
−
1
1
f
(
x
)
d
x
=
∫
−
1
1
a
(
4
−
x
2
)
d
x
∫
−
1
1
f
(
x
)
d
x
=
[
a
(
4
x
−
1
3
x
3
)
]
−
1
1
\int _{-1}^{1}f\left(x\right)dx=\left[a\left(4x-\frac{1}{3} x^{3} \right)\right] _{-1}^{1}
∫
−
1
1
f
(
x
)
d
x
=
[
a
(
4
x
−
3
1
x
3
)
]
−
1
1
∫
−
1
1
f
(
x
)
d
x
=
[
4
a
x
−
1
3
a
x
3
]
−
1
1
\int _{-1}^{1}f\left(x\right)dx=\left[4ax-\frac{1}{3} ax^{3} \right] _{-1}^{1}
∫
−
1
1
f
(
x
)
d
x
=
[
4
a
x
−
3
1
a
x
3
]
−
1
1
∫
−
1
1
f
(
x
)
d
x
=
4
a
×
1
−
1
3
a
×
1
3
−
(
4
a
×
(
−
1
)
−
1
3
a
×
(
−
1
)
3
)
\int _{-1}^{1}f\left(x\right)dx=4a\times 1-\frac{1}{3} a\times 1^{3} -\left(4a\times \left(-1\right)-\frac{1}{3} a\times \left(-1\right)^{3} \right)
∫
−
1
1
f
(
x
)
d
x
=
4
a
×
1
−
3
1
a
×
1
3
−
(
4
a
×
(
−
1
)
−
3
1
a
×
(
−
1
)
3
)
∫
−
1
1
f
(
x
)
d
x
=
4
a
−
1
3
a
−
(
−
4
a
+
1
3
a
)
\int _{-1}^{1}f\left(x\right)dx=4a-\frac{1}{3} a-\left(-4a+\frac{1}{3} a\right)
∫
−
1
1
f
(
x
)
d
x
=
4
a
−
3
1
a
−
(
−
4
a
+
3
1
a
)
∫
−
1
1
f
(
x
)
d
x
=
4
a
−
1
3
a
+
4
a
−
1
3
a
\int _{-1}^{1}f\left(x\right)dx=4a-\frac{1}{3} a+4a-\frac{1}{3} a
∫
−
1
1
f
(
x
)
d
x
=
4
a
−
3
1
a
+
4
a
−
3
1
a
∫
−
1
1
f
(
x
)
d
x
=
8
a
−
2
3
a
\int _{-1}^{1}f\left(x\right)dx=8a-\frac{2}{3} a
∫
−
1
1
f
(
x
)
d
x
=
8
a
−
3
2
a
∫
−
1
1
f
(
x
)
d
x
=
22
3
a
\int _{-1}^{1}f\left(x\right)dx=\frac{22}{3} a
∫
−
1
1
f
(
x
)
d
x
=
3
22
a
Afin que
f
f
f
soit une fonction de densité sur
[
−
1
;
1
]
\left[-1;1\right]
[
−
1
;
1
]
, il faut que :
∫
−
1
1
a
(
4
−
x
2
)
d
x
=
1
\int _{-1}^{1}a\left(4-x^{2} \right) dx=1
∫
−
1
1
a
(
4
−
x
2
)
d
x
=
1
.
D'où :
22
3
a
=
1
\frac{22}{3} a =1
3
22
a
=
1
ainsi :
a
=
3
22
a=\frac{3}{22}
a
=
22
3
Il en résulte que :
f
(
x
)
=
3
22
(
4
−
x
2
)
f\left(x\right)=\frac{3}{22}\left(4-x^{2}\right)
f
(
x
)
=
22
3
(
4
−
x
2
)
Question 2
Calculer l'espérance de
X
X
X
.
Correction
L'espérance mathématique d'une variable aléatoire continue
X
X
X
, de densité
f
f
f
sur
[
a
,
b
]
\left[a,b\right]
[
a
,
b
]
est :
E
(
X
)
=
∫
a
b
x
f
(
x
)
d
x
E\left(X\right)=\int _{a}^{b}xf\left(x\right)dx
E
(
X
)
=
∫
a
b
x
f
(
x
)
d
x
Ainsi :
E
(
X
)
=
∫
−
1
1
x
f
(
x
)
d
x
E\left(X\right)=\int _{-1}^{1}xf\left(x\right)dx
E
(
X
)
=
∫
−
1
1
x
f
(
x
)
d
x
équivaut successivement à :
E
(
x
)
=
∫
−
1
1
x
×
(
3
22
(
4
−
x
2
)
)
d
x
E\left(x\right)=\int _{-1}^{1}x\times \left(\frac{3}{22} \left(4-x^{2} \right)\right) dx
E
(
x
)
=
∫
−
1
1
x
×
(
22
3
(
4
−
x
2
)
)
d
x
E
(
x
)
=
∫
−
1
1
x
×
(
3
22
×
4
−
3
22
x
2
)
d
x
E\left(x\right)=\int _{-1}^{1}x\times \left(\frac{3}{22} \times 4-\frac{3}{22} x^{2} \right) dx
E
(
x
)
=
∫
−
1
1
x
×
(
22
3
×
4
−
22
3
x
2
)
d
x
E
(
x
)
=
∫
−
1
1
x
×
(
6
11
−
3
22
x
2
)
d
x
E\left(x\right)=\int _{-1}^{1}x\times \left(\frac{6}{11} -\frac{3}{22} x^{2} \right) dx
E
(
x
)
=
∫
−
1
1
x
×
(
11
6
−
22
3
x
2
)
d
x
E
(
x
)
=
∫
−
1
1
(
6
11
x
−
3
22
x
3
)
d
x
E\left(x\right)=\int _{-1}^{1}\left(\frac{6}{11} x-\frac{3}{22} x^{3} \right) dx
E
(
x
)
=
∫
−
1
1
(
11
6
x
−
22
3
x
3
)
d
x
E
(
x
)
=
[
6
11
×
1
2
x
2
−
3
22
×
1
4
x
4
]
−
1
1
E\left(x\right)=\left[\frac{6}{11} \times \frac{1}{2} x^{2} -\frac{3}{22} \times \frac{1}{4} x^{4} \right]_{-1}^{1}
E
(
x
)
=
[
11
6
×
2
1
x
2
−
22
3
×
4
1
x
4
]
−
1
1
E
(
x
)
=
3
11
×
1
2
−
3
88
×
1
4
−
(
3
11
×
(
−
1
)
2
−
3
88
×
(
−
1
)
4
)
E\left(x\right)=\frac{3}{11} \times 1^{2} -\frac{3}{88} \times 1^{4} -\left(\frac{3}{11} \times \left(-1\right)^{2} -\frac{3}{88} \times \left(-1\right)^{4} \right)
E
(
x
)
=
11
3
×
1
2
−
88
3
×
1
4
−
(
11
3
×
(
−
1
)
2
−
88
3
×
(
−
1
)
4
)
E
(
x
)
=
3
11
−
3
88
−
(
3
11
−
3
88
)
E\left(x\right)=\frac{3}{11} -\frac{3}{88} -\left(\frac{3}{11} -\frac{3}{88} \right)
E
(
x
)
=
11
3
−
88
3
−
(
11
3
−
88
3
)
E
(
x
)
=
0
E\left(x\right)=0
E
(
x
)
=
0