Notons
X la variable aléatoire définie sur
[0;1] dont la loi de probabilité a pour densité
fOn doit vérifier que :
- f est continue sur [0;1]
- f est positive sur [0;1]
- ∫01f(x)dx=1
x↦eex+1 est une fonction exponentielle.
Par définition, une fonction exponentielle est continue sur
R donc en particulier sur
[0;1]x↦eex+1 est strictement positive car
ex>0 , donc
f est positive sur
[0;1]Enfin :
∫01f(x)dx=∫01(eex+1)dx équivaut successivement à
∫01f(x)dx=[eex+x]01∫01f(x)dx=(ee1+1)−(ee0+0)∫01f(x)dx=(ee1+1)−e1∫01f(x)dx=ee+e1−e1D'où :
∫01f(x)dx=1.
Il en résulte que la fonction
f définie une loi à densité sur l'intervalle
[0;1]