Loi de densité - Exercice 1

Notons $$X$$ la variable aléatoire définie sur $$\left[0;1\right]$$ dont la loi de probabilité a pour densité $$f$$
$$x\mapsto x+\frac{1}{2}$$ est une fonction affine
Par définition, une fonction affine est continue sur $$\mathbb{R}$$ donc en particulier sur $$\left[0;1\right]$$
De plus, $$x\in \left[0;1\right]$$ donc :
$$0\le x\le 1$$ équivaut successivement à
$$0+\frac{1}{2} \le x+\frac{1}{2} \le 1+\frac{1}{2}$$

Ainsi : $$f$$ est positive sur $$\left[0;1\right]$$
Enfin :
$$\int _{0}^{1}f\left(x\right)dx =\int _{0}^{1}\left(x+\frac{1}{2} \right)dx$$ équivaut successivement à
$$\int _{0}^{1}f\left(x\right)dx =\left[\frac{1}{2} x^{2} +\frac{1}{2} x\right]_{0}^{1}$$
$$\int _{0}^{1}f\left(x\right)dx =\left(\frac{1}{2} \times 1^{2} +\frac{1}{2} \times 1\right)-\left(\frac{1}{2} \times 0^{2} +\frac{1}{2} \times 0\right)$$
D'où : $$\int _{0}^{1}f\left(x\right)dx =1$$
Il en résulte que la fonction $$f$$ définie une loi à densité sur l'intervalle $$\left[0;1\right]$$

$$P\left(\frac{1}{2} \le X\le \frac{3}{5} \right)=\int _{\frac{1}{2} }^{\frac{3}{5} }f\left(x\right)dx$$ équivaut successivement à
$$P\left(\frac{1}{2} \le X\le \frac{3}{5} \right)=\int _{\frac{1}{2} }^{\frac{3}{5} }\left(x+\frac{1}{2} \right)dx$$
$$P\left(\frac{1}{2} \le X\le \frac{3}{5} \right)=\left[\frac{1}{2} x^{2} +\frac{1}{2} x\right]_{\frac{1}{2} }^{\frac{3}{5} }$$
$$P\left(\frac{1}{2} \le X\le \frac{3}{5} \right)=\left(\frac{1}{2} \times \left(\frac{3}{5} \right)^{2} +\frac{1}{2} \times \left(\frac{3}{5} \right)\right)-\left(\frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{2} \right)^{2} +\frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{2} \right)\right)$$

On a $$P\left(X\ge \frac{5}{6} \right)=P\left(\frac{5}{6} \le X\le 1\right)$$ car $$f$$ définie une loi à densité sur l'intervalle $$\left[0;1\right]$$ donc si $$X\ge \frac{5}{6}$$ alors $$\frac{5}{6} \le X\le 1$$.
$$P\left(\frac{5}{6} \le X\le 1\right)=\int _{\frac{5}{6} }^{1}f\left(x\right)dx$$ équivaut successivement à
$$P\left(\frac{5}{6} \le X\le 1\right)=\int _{\frac{5}{6} }^{1}\left(x+\frac{1}{2} \right)dx$$
$$P\left(\frac{5}{6} \le X\le 1\right)=\left[\frac{1}{2} x^{2} +\frac{1}{2} x\right]_{\frac{5}{6} }^{1}$$
$$P\left(\frac{5}{6} \le X\le 1\right)=\left(\frac{1}{2} \times 1^{2} +\frac{1}{2} \times 1\right)-\left(\frac{1}{2} \times \left(\frac{5}{6} \right)^{2} +\frac{1}{2} \times \left(\frac{5}{6} \right)\right)$$

On a $$P\left(X\le \frac{1}{3} \right)=P\left(0\le X\le \frac{1}{3} \right)$$ car $$f$$ définie une loi à densité sur l'intervalle $$\left[0;1\right]$$ donc si $$X\le \frac{1}{3}$$ alors $$0\le X\le \frac{1}{3}$$.
$$P\left(0\le X\le \frac{1}{3} \right)=\int _{0}^{\frac{1}{3} }\left(x+\frac{1}{2} \right)dx$$ équivaut successivement à
$$P\left(0\le X\le \frac{1}{3} \right)=\left[\frac{1}{2} x^{2} +\frac{1}{2} x\right]_{0}^{\frac{1}{3} }$$
$$P\left(0\le X\le \frac{1}{3} \right)=\left(\frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{3} \right)^{2} +\frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{3} \right)\right)-\left(\frac{1}{2} \times 0^{2} +\frac{1}{2} \times 0\right)$$

$$P\left(X=\frac{1}{2} \right)=P\left(\frac{1}{2} \le X\le \frac{1}{2} \right)$$
$$P\left(\frac{1}{2} \le X\le \frac{1}{2} \right)=\int _{\frac{1}{2} }^{\frac{1}{2} }\left(x+\frac{1}{2} \right)dx =0$$
De manière générale, avec les lois continues :

Ainsi :
$$E\left(X\right)=\int _{0}^{1}xf\left(x\right)dx$$ équivaut successivement à
$$E\left(X\right)=\int _{0}^{1}x\times \left(x+\frac{1}{2} \right)dx$$
Donc : $$E\left(X\right)=\int _{0}^{1}\left(x^{2} +\frac{1}{2} x\right) dx$$.
Finalement :
$$E\left(X\right)=\int _{0}^{1}\left(x^{2} +\frac{1}{2} x\right)dx$$ équivaut successivement à
$$E\left(X\right)=\left[\frac{1}{3} x^{3} +\frac{1}{4} x^{2} \right]_{0}^{1}$$
$$E\left(X\right)=\left(\frac{1}{3} \times 1^{3} +\frac{1}{4} \times 1^{2} \right)-\left(\frac{1}{3} \times ^{3} +\frac{1}{4} \times 0^{2} \right)$$