Lois de probabilités à densité

Loi de densité

Exercice 1

Soit ff la fonction définie sur [0;1]\left[0;1\right] par f(x)=x+12f\left(x\right)=x+\frac{1}{2}
1

Justifier que la fonction ff définie une loi à densité sur l'intervalle [0;1]\left[0;1\right]

Correction
2

Déterminer la probabilité suivante P(12X35)P\left(\frac{1}{2} \le X\le \frac{3}{5} \right)

Correction
3

Déterminer la probabilité suivante P(X56)P\left(X\ge \frac{5}{6} \right)

Correction
4

Déterminer la probabilité suivante P(X13)P\left(X\le \frac{1}{3} \right)

Correction
5

Déterminer la probabilité suivante P(X=12)P\left(X=\frac{1}{2} \right)

Correction
6

Calculer l'espérance de XX.

Correction

Exercice 2

Soit ff la fonction définie sur [1;3]\left[1;3\right] par f(x)=314x2314xf\left(x\right)=\frac{3}{14} x^{2} -\frac{3}{14} x
1

Justifier que la fonction ff définie une loi à densité sur l'intervalle [1;3]\left[1;3\right]

Correction
2

Déterminer la probabilité suivante P(1X2)P\left(1\le X\le 2\right)

Correction
3

Déterminer la probabilité suivante P(X32)P\left(X\ge \frac{3}{2} \right)

Correction
4

Déterminer la probabilité suivante P(X53)P\left(X\le \frac{5}{3} \right)

Correction
5

Calculer l'espérance de XX

Correction

Exercice 3

Soit ff la fonction définie sur [1;2]\left[1;2\right] par f(x)=x+2mf\left(x\right)=x+2mmm est un réel.
1

Déterminer la valeur de mm afin que ff soit une fonction de densité sur [1;2]\left[1;2\right]

Correction
2

Déterminer la probabilité suivante P(1X32)P\left(1 \le X\le \frac{3}{2} \right)

Correction

Exercice 4

Soit ff la fonction définie sur [0;1]\left[0;1\right] par f(x)=ex+1ef\left(x\right)=\frac{e^{x} +1}{e}
1

Justifier que la fonction ff définie une loi à densité sur l'intervalle [0;1]\left[0;1\right]

Correction
2

Déterminer la probabilité suivante P(12X)P\left(\frac{1}{2} \le X\right)

Correction

Exercice 5

Soit ff la fonction définie sur [1;1]\left[-1;1\right] par f(x)=a(4x2)f\left(x\right)=a\left(4-x^{2}\right) avec aa un réel positif. On admet que ff représente une densité de probabilité sur l'intervalle [1;1]\left[-1;1\right] . On note XX une variable aléatoire de loi de densité ff.
1

Quelle est la valeur exacte de aa ?

Correction
2

Calculer l'espérance de XX.

Correction
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