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Lois de probabilités à densité

Loi de densité - Exercice 1

15 min
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Soit ff la fonction définie sur [0;1]\left[0;1\right] par f(x)=x+12f\left(x\right)=x+\frac{1}{2}
Question 1

Justifier que la fonction ff définie une loi à densité sur l'intervalle [0;1]\left[0;1\right]

Correction
Notons XX la variable aléatoire définie sur [0;1]\left[0;1\right] dont la loi de probabilité a pour densité ff

On doit vérifier que :
  • ff est continue sur [0;1]\left[0;1\right]
  • ff est positive sur [0;1]\left[0;1\right]
  • 01f(x)dx=1\int _{0}^{1}f\left(x\right)dx =1
xx+12x\mapsto x+\frac{1}{2} est une fonction affine
Par définition, une fonction affine est continue sur R\mathbb{R} donc en particulier sur [0;1]\left[0;1\right]
De plus, x[0;1]x\in \left[0;1\right] donc :
0x10\le x\le 1 équivaut successivement à
0+12x+121+120+\frac{1}{2} \le x+\frac{1}{2} \le 1+\frac{1}{2}
12f(x)32\frac{1}{2} \le f\left(x\right)\le \frac{3}{2}

Ainsi : ff est positive sur [0;1]\left[0;1\right]
Enfin :
01f(x)dx=01(x+12)dx\int _{0}^{1}f\left(x\right)dx =\int _{0}^{1}\left(x+\frac{1}{2} \right)dx équivaut successivement à
01f(x)dx=[12x2+12x]01\int _{0}^{1}f\left(x\right)dx =\left[\frac{1}{2} x^{2} +\frac{1}{2} x\right]_{0}^{1}
01f(x)dx=(12×12+12×1)(12×02+12×0)\int _{0}^{1}f\left(x\right)dx =\left(\frac{1}{2} \times 1^{2} +\frac{1}{2} \times 1\right)-\left(\frac{1}{2} \times 0^{2} +\frac{1}{2} \times 0\right)
D'où : 01f(x)dx=1\int _{0}^{1}f\left(x\right)dx =1
Il en résulte que la fonction ff définie une loi à densité sur l'intervalle [0;1]\left[0;1\right]
Question 2

Déterminer la probabilité suivante P(12X35)P\left(\frac{1}{2} \le X\le \frac{3}{5} \right)

Correction
P(12X35)=1235f(x)dxP\left(\frac{1}{2} \le X\le \frac{3}{5} \right)=\int _{\frac{1}{2} }^{\frac{3}{5} }f\left(x\right)dx équivaut successivement à
P(12X35)=1235(x+12)dxP\left(\frac{1}{2} \le X\le \frac{3}{5} \right)=\int _{\frac{1}{2} }^{\frac{3}{5} }\left(x+\frac{1}{2} \right)dx
P(12X35)=[12x2+12x]1235P\left(\frac{1}{2} \le X\le \frac{3}{5} \right)=\left[\frac{1}{2} x^{2} +\frac{1}{2} x\right]_{\frac{1}{2} }^{\frac{3}{5} }
P(12X35)=(12×(35)2+12×(35))(12×(12)2+12×(12))P\left(\frac{1}{2} \le X\le \frac{3}{5} \right)=\left(\frac{1}{2} \times \left(\frac{3}{5} \right)^{2} +\frac{1}{2} \times \left(\frac{3}{5} \right)\right)-\left(\frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{2} \right)^{2} +\frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{2} \right)\right)
P(12X35)=21200P\left(\frac{1}{2} \le X\le \frac{3}{5} \right)=\frac{21}{200}
Question 3

Déterminer la probabilité suivante P(X56)P\left(X\ge \frac{5}{6} \right)

Correction
On a P(X56)=P(56X1)P\left(X\ge \frac{5}{6} \right)=P\left(\frac{5}{6} \le X\le 1\right) car ff définie une loi à densité sur l'intervalle [0;1]\left[0;1\right] donc si X56X\ge \frac{5}{6} alors 56X1\frac{5}{6} \le X\le 1.
P(56X1)=561f(x)dxP\left(\frac{5}{6} \le X\le 1\right)=\int _{\frac{5}{6} }^{1}f\left(x\right)dx équivaut successivement à
P(56X1)=561(x+12)dxP\left(\frac{5}{6} \le X\le 1\right)=\int _{\frac{5}{6} }^{1}\left(x+\frac{1}{2} \right)dx
P(56X1)=[12x2+12x]561P\left(\frac{5}{6} \le X\le 1\right)=\left[\frac{1}{2} x^{2} +\frac{1}{2} x\right]_{\frac{5}{6} }^{1}
P(56X1)=(12×12+12×1)(12×(56)2+12×(56))P\left(\frac{5}{6} \le X\le 1\right)=\left(\frac{1}{2} \times 1^{2} +\frac{1}{2} \times 1\right)-\left(\frac{1}{2} \times \left(\frac{5}{6} \right)^{2} +\frac{1}{2} \times \left(\frac{5}{6} \right)\right)
P(56X1)=1772P\left(\frac{5}{6} \le X\le 1\right)=\frac{17}{72}
Question 4

Déterminer la probabilité suivante P(X13)P\left(X\le \frac{1}{3} \right)

Correction
On a P(X13)=P(0X13)P\left(X\le \frac{1}{3} \right)=P\left(0\le X\le \frac{1}{3} \right) car ff définie une loi à densité sur l'intervalle [0;1]\left[0;1\right] donc si X13X\le \frac{1}{3} alors 0X130\le X\le \frac{1}{3} .
P(0X13)=013(x+12)dxP\left(0\le X\le \frac{1}{3} \right)=\int _{0}^{\frac{1}{3} }\left(x+\frac{1}{2} \right)dx équivaut successivement à
P(0X13)=[12x2+12x]013P\left(0\le X\le \frac{1}{3} \right)=\left[\frac{1}{2} x^{2} +\frac{1}{2} x\right]_{0}^{\frac{1}{3} }
P(0X13)=(12×(13)2+12×(13))(12×02+12×0)P\left(0\le X\le \frac{1}{3} \right)=\left(\frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{3} \right)^{2} +\frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{3} \right)\right)-\left(\frac{1}{2} \times 0^{2} +\frac{1}{2} \times 0\right)
P(0X13)=29P\left(0\le X\le \frac{1}{3} \right)=\frac{2}{9}
Question 5

Déterminer la probabilité suivante P(X=12)P\left(X=\frac{1}{2} \right)

Correction
P(X=12)=P(12X12)P\left(X=\frac{1}{2} \right)=P\left(\frac{1}{2} \le X\le \frac{1}{2} \right)
P(12X12)=1212(x+12)dx=0P\left(\frac{1}{2} \le X\le \frac{1}{2} \right)=\int _{\frac{1}{2} }^{\frac{1}{2} }\left(x+\frac{1}{2} \right)dx =0
De manière générale, avec les lois continues :
P(X=b)=0P\left(X=b\right)=0
Question 6

Calculer l'espérance de XX.

Correction
L'espérance mathématique d'une variable aléatoire continue XX, de densité ff sur [a,b]\left[a,b\right] est : E(X)=abxf(x)dxE\left(X\right)=\int _{a}^{b}xf\left(x\right)dx
Ainsi :
E(X)=01xf(x)dxE\left(X\right)=\int _{0}^{1}xf\left(x\right)dx équivaut successivement à
E(X)=01x×(x+12)dxE\left(X\right)=\int _{0}^{1}x\times \left(x+\frac{1}{2} \right)dx
Donc : E(X)=01(x2+12x)dxE\left(X\right)=\int _{0}^{1}\left(x^{2} +\frac{1}{2} x\right) dx.
Finalement :
E(X)=01(x2+12x)dxE\left(X\right)=\int _{0}^{1}\left(x^{2} +\frac{1}{2} x\right)dx équivaut successivement à
E(X)=[13x3+14x2]01E\left(X\right)=\left[\frac{1}{3} x^{3} +\frac{1}{4} x^{2} \right]_{0}^{1}
E(X)=(13×13+14×12)(13×3+14×02)E\left(X\right)=\left(\frac{1}{3} \times 1^{3} +\frac{1}{4} \times 1^{2} \right)-\left(\frac{1}{3} \times ^{3} +\frac{1}{4} \times 0^{2} \right)
E(X)=712E\left(X\right)=\frac{7}{12}