Soit
f(x)=λ(2+x)(2−x) que l'on peut écrire que
f(x)=λ(4−x2).
x↦λ(4−x2) est une fonction polynomiale.
Par définition, une fonction polynomiale est continue sur
R donc en particulier sur
[−1;1].
De plus,
x∈[−1;1] on vérifie aisément que
f est positive sur
[−1;1].
Pour que
f soit une fonction de densité de probabilité, il nous reste à considérer que :
∫−11f(x)dx=1Commençons par calculer
I=∫−11f(x)dx.
I=∫−11(λ(4−x2))dx équivaut successivement à
I=[λ(4x−31x3)]−11I=(λ(4×1−31×13))−(λ(4×(−1)−31×(−1)3))I=311λ−(−311λ) I=322λAfin que
f soit une fonction de densité sur
[−1;1], il faut que :
∫−11(λ(4−x2))dx=1.
D'où :
322λ=1 ainsi :
λ=223 Finalement :
f(x)=223(4−x2)