Notons
X la variable aléatoire définie sur
[0;2] dont la loi de probabilité a pour densité
fOn doit vérifier que :
- f est continue sur [0;2]
- f est positive sur [0;2]
- ∫02f(x)dx=1
x↦2e−2e0,5x est une fonction exponentielle .
Par définition, une fonction exponentielle est continue sur
R donc en particulier sur
[0;2].
De plus,
x∈[0;2] donc :
2e−2>0 car
e≈2,71 et
e0,5x>0.
Ainsi :
f est positive sur
[0;2]Enfin :
∫02f(x)dx=∫02(2e−2e0,5x)dx équivaut successivement à
- ∫eax+bdx=a1×eax+b
∫02f(x)dx=[0,51×2e−2e0,5x]02∫02f(x)dx=[2×2e−2e0,5x]02∫02f(x)dx=[e−1e0,5x]02∫02f(x)dx=e−1e1−(e−11)∫02f(x)dx=e−1e1−1D'où :
∫02f(x)dx=1Il en résulte que la fonction
f définie une loi à densité sur l'intervalle
[0;2]