Exercices types : La loi exponentielle - Exercice 6
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Question 1
On estime que la durée de vie d'un ordinateur suit une loi exponentielle de paramètre λ et on note X la variable aléatoire qui à un ordinateur choisi au hasard associe sa durée de vie en années. On a pu mesurer qu’au bout de 5 ans, la moitié des ordinateurs sont défectueux.
Déterminer la valeur de λ arrondie à 10−3 près.
Correction
La fonction de densité de probabilité de la loi exponentielle sur [0;+∞[ est f(x)=λe−λx où λ est un réel positif.
P(a≤X≤b)=∫abλe−λxdx=[−e−λx]ab=e−λa−e−λb
P(X≤a)=P(0≤X≤a)=∫0aλe−λxdx=[−e−λx]0a=1−e−λa
P(X≥a)=1−P(X≤a)=1−(1−e−λa)=e−λa
D'après l'énoncé, nous savons que P(X≥5)=21. Ainsi : P(X≥5)=e−5λ et comme P(X≥5)=21 Il en résulte donc que : e−5λ=0,5(voir la vidéo sur les équations exponentielles si besoin) e−5λ=eln(0,5) −5λ=ln(0,5) λ=−5ln(0,5) Ainsi :
λ≈0,139
à 10−3 près.
Question 2
En déduire la durée de vie moyenne de ces ordinateurs.
Correction
Si X suit la loi exponentielle de paramètre λ alors son espérance mathématique vaut : E(X)=λ1.
Ainsi : E(X)=0,1391, il vient alors que :
E(X)≈7,2 années
La durée de vie moyenne de ces ordinateurs est environ de 7,2 années
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