Exercices types : La loi exponentielle - Exercice 6

10 min

Question 1

On estime que la durée de vie d'un ordinateur suit une loi exponentielle de paramètre

\lambda

et on note

X

la variable aléatoire qui à un ordinateur choisi au hasard associe sa durée de vie en années.
On a pu mesurer qu’au bout de

5

ans, la moitié des ordinateurs sont défectueux.

Déterminer la valeur de $\lambda$ arrondie à $10^{-3}$ près.

Correction

La fonction de densité de probabilité de la loi exponentielle sur

\left[0;+\infty \right[

est

f\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x}

où

\lambda

est un réel positif.

$P\left(a\le X\le b\right)=\int _{a}^{b}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{a}^{b} =e^{-\lambda a} -e^{-\lambda b}$
$P\left(X\le a\right)=P\left(0\le X\le a\right)=\int _{0}^{a}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{0}^{a} =1-e^{-\lambda a}$
$P\left(X\ge a\right)=1-P\left(X\le a\right)=1-\left(1-e^{-\lambda a} \right)=e^{-\lambda a}$

D'après l'énoncé, nous savons que

P\left(X\ge 5\right)=\frac{1}{2}

. Ainsi :

P\left(X\ge 5\right)=e^{-5\lambda }

et comme

P\left(X\ge 5\right)=\frac{1}{2}

Il en résulte donc que :

e^{-5\lambda } =0,5

(voir la vidéo sur les équations exponentielles si besoin)

e^{-5\lambda } =e^{\ln \left(0,5\right)}

-5\lambda =\ln \left(0,5\right)

\lambda =\frac{\ln \left(0,5\right)}{-5}

Ainsi :

\lambda \approx 0,139

10^{-3}

près.

Question 2

Correction

X

suit la loi exponentielle de paramètre

\lambda

alors son espérance mathématique vaut :

E\left(X\right)=\frac{1}{\lambda}

Ainsi :

E\left(X\right)=\frac{1}{0,139 }

, il vient alors que :

E\left(X\right)\approx7,2

années

La durée de vie moyenne de ces ordinateurs est environ de

7,2

années