Lois de probabilités à densité

Exercices types : La loi exponentielle - Exercice 6

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Question 1
On estime que la durée de vie d'un ordinateur suit une loi exponentielle de paramètre λ\lambda et on note XX la variable aléatoire qui à un ordinateur choisi au hasard associe sa durée de vie en années.
On a pu mesurer qu’au bout de 55 ans, la moitié des ordinateurs sont défectueux.

Déterminer la valeur de λ\lambda arrondie à 10310^{-3} près.

Correction

La fonction de densité de probabilité de la loi exponentielle sur [0;+[\left[0;+\infty \right[ est f(x)=λeλxf\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x} λ\lambda est un réel positif.
  • P(aXb)=abλeλxdx=[eλx]ab=eλaeλbP\left(a\le X\le b\right)=\int _{a}^{b}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{a}^{b} =e^{-\lambda a} -e^{-\lambda b}
  • P(Xa)=P(0Xa)=0aλeλxdx=[eλx]0a=1eλaP\left(X\le a\right)=P\left(0\le X\le a\right)=\int _{0}^{a}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{0}^{a} =1-e^{-\lambda a}
  • P(Xa)=1P(Xa)=1(1eλa)=eλaP\left(X\ge a\right)=1-P\left(X\le a\right)=1-\left(1-e^{-\lambda a} \right)=e^{-\lambda a}
D'après l'énoncé, nous savons que P(X5)=12P\left(X\ge 5\right)=\frac{1}{2}. Ainsi :
P(X5)=e5λP\left(X\ge 5\right)=e^{-5\lambda } et comme P(X5)=12P\left(X\ge 5\right)=\frac{1}{2}
Il en résulte donc que :
e5λ=0,5e^{-5\lambda } =0,5 (voir la vidéo sur les équations exponentielles si besoin)
e5λ=eln(0,5)e^{-5\lambda } =e^{\ln \left(0,5\right)}
5λ=ln(0,5)-5\lambda =\ln \left(0,5\right)
λ=ln(0,5)5\lambda =\frac{\ln \left(0,5\right)}{-5}
Ainsi :
λ0,139\lambda \approx 0,139
à 10310^{-3} près.
Question 2

En déduire la durée de vie moyenne de ces ordinateurs.

Correction

Si XX suit la loi exponentielle de paramètre λ\lambda alors son espérance mathématique vaut : E(X)=1λE\left(X\right)=\frac{1}{\lambda} .
Ainsi : E(X)=10,139E\left(X\right)=\frac{1}{0,139 } , il vient alors que :
E(X)7,2E\left(X\right)\approx7,2 années

La durée de vie moyenne de ces ordinateurs est environ de 7,27,2 années