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Exercices types : La loi exponentielle - Exercice 5

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Question 1
Dans une salle d'attente chez un médecin débordé, de nombreux patients attendent leur rendez vous.
On admet que la variable aléatoire XX, qui, à chaque patient, associe le temps d’attente en minutes pour que le médecin soit disponible, suit une loi exponentielle de paramètre λ\lambda.

Le temps d’attente moyen est de 4040 minutes. Sachant qu’un client a déjà attendu 4040 minutes, quelle la probabilité que son attente totale dépasse une 5050 minutes ?

Correction

Si XX suit la loi exponentielle de paramètre λ\lambda alors son espérance mathématique vaut : E(X)=1λE\left(X\right)=\frac{1}{\lambda} .
Ainsi : E(X)=40E\left(X\right)=40 .
Or : E(X)=1λE\left(X\right)=\frac{1}{\lambda } , il vient alors que : 1λ=40⇔\frac{1}{\lambda } =40\Leftrightarrow
λ=140=0,025\lambda =\frac{1}{40}=0,025

La loi exponentielle est une loi sans vieillissement ou sans mémoire c'est-à-dire que :
∀t>0\forall t>0 et h>0h>0 on a PX≥t(X≥t+h)=P(X≥h)P_{X\ge t} \left(X\ge t+h\right)=P\left(X\ge h\right)
Il en résulte que d'après l'énoncé, on cherche à calculer :
PX≥40(X≥50)=PX≥40(X≥40+10)P_{X\ge 40} \left(X\ge 50\right)=P_{X\ge 40} \left(X\ge 40+10\right)
Donc d'après la formule ci-dessus :
PX≥40(X≥50)=P(X≥10)P_{X\ge 40} \left(X\ge 50\right)=P\left(X\ge 10\right)

La fonction de densité de probabilité de la loi exponentielle sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[ est f(x)=λe−λxf\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x} où λ\lambda est un réel positif.
  • P(a≤X≤b)=∫abλe−λxdx=[−e−λx]ab=e−λa−e−λbP\left(a\le X\le b\right)=\int _{a}^{b}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{a}^{b} =e^{-\lambda a} -e^{-\lambda b}
  • P(X≤a)=P(0≤X≤a)=∫0aλe−λxdx=[−e−λx]0a=1−e−λaP\left(X\le a\right)=P\left(0\le X\le a\right)=\int _{0}^{a}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{0}^{a} =1-e^{-\lambda a}
  • P(X≥a)=1−P(X≤a)=1−(1−e−λa)=e−λaP\left(X\ge a\right)=1-P\left(X\le a\right)=1-\left(1-e^{-\lambda a} \right)=e^{-\lambda a}
D'après le rappel : P(X≥a)=e−λaP\left(X\ge a\right)=e^{-\lambda a} .
Ainsi :
PX≥40(X≥50)=P(X≥10)=e−0,025×10P_{X\ge 40} \left(X\ge 50\right)=P\left(X\ge 10\right)=e^{-0,025\times10}
D'où :
PX≥40(X≥50)=e−0,25≈0,78P_{X\ge 40} \left(X\ge 50\right)= e^{-0,25}\approx0,78

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