Lois de probabilités à densité

Exercices types : La loi exponentielle - Exercice 4

20 min
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Question 1
La durée de vie d'une console exprimée en années, jusqu'à ce que survienne la première panne, est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ\lambda avec λ>0\lambda>0 ). Toutes les probabilités seront données à 10−310^{-3} près.

Sachant que P(X≥6)=0,3P\left(X\ge 6\right)=0,3 déterminer une valeur approchée à 10−210^{-2} près de λ\lambda .

Correction

La fonction de densité de probabilité de la loi exponentielle sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[ est f(x)=λe−λxf\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x} où λ\lambda est un réel positif.
  • P(a≤X≤b)=∫abλe−λxdx=[−e−λx]ab=e−λa−e−λbP\left(a\le X\le b\right)=\int _{a}^{b}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{a}^{b} =e^{-\lambda a} -e^{-\lambda b}
  • P(X≤a)=P(0≤X≤a)=∫0aλe−λxdx=[−e−λx]0a=1−e−λaP\left(X\le a\right)=P\left(0\le X\le a\right)=\int _{0}^{a}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{0}^{a} =1-e^{-\lambda a}
  • P(X≥a)=1−P(X≤a)=1−(1−e−λa)=e−λaP\left(X\ge a\right)=1-P\left(X\le a\right)=1-\left(1-e^{-\lambda a} \right)=e^{-\lambda a}
D'après le rappel :
P(X≥6)=e−6λP\left(X\ge 6\right)=e^{-6\lambda } et comme P(X≥6)=0,3P\left(X\ge 6\right)=0,3
Il en résulte donc que :
e−6λ=0,3e^{-6\lambda } =0,3 (voir la vidéo sur les équations exponentielles si besoin)
e−6λ=eln⁡(0,3)e^{-6\lambda } =e^{\ln \left(0,3\right)}
−6λ=ln⁡(0,3)-6\lambda =\ln \left(0,3\right)
λ=ln⁡(0,3)−6\lambda =\frac{\ln \left(0,3\right)}{-6}
Ainsi :
λ≈0,2\lambda \approx 0,2
à 10−210^{-2} près.
Question 2
On prendra 0,20,2 pour valeur de λλ dans la suite de l’exercice.

Montrer que la probabilité qu'une console n'ait pas eu de panne au cours des deux premières années est de e−0,4e^{-0,4} .

Correction
Nous voulons donc calculer la probabilité P(X≥2)P\left(X\ge 2\right) .

La fonction de densité de probabilité de la loi exponentielle sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[ est f(x)=λe−λxf\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x} où λ\lambda est un réel positif.
  • P(a≤X≤b)=∫abλe−λxdx=[−e−λx]ab=e−λa−e−λbP\left(a\le X\le b\right)=\int _{a}^{b}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{a}^{b} =e^{-\lambda a} -e^{-\lambda b}
  • P(X≤a)=P(0≤X≤a)=∫0aλe−λxdx=[−e−λx]0a=1−e−λaP\left(X\le a\right)=P\left(0\le X\le a\right)=\int _{0}^{a}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{0}^{a} =1-e^{-\lambda a}
  • P(X≥a)=1−P(X≤a)=1−(1−e−λa)=e−λaP\left(X\ge a\right)=1-P\left(X\le a\right)=1-\left(1-e^{-\lambda a} \right)=e^{-\lambda a}
D'après le rappel : P(X≥a)=e−λaP\left(X\ge a\right)=e^{-\lambda a} ce qui nous donne :
P(X≥2)=e−0,2×2P\left(X\ge 2\right)=e^{-0,2\times 2}
P(X≥2)=e−0,4P\left(X\ge 2\right)=e^{-0,4}

Question 3

Sachant qu'une console n'a pas eu de panne au cours des deux premières années, quelle est à 10−210^{-2} près, la probabilité qu'elle soit encore en état de marche au bout de six ans ?

Correction

La loi exponentielle est une loi sans vieillissement ou sans mémoire c'est-à-dire que :
∀t>0\forall t>0 et h>0h>0 on a PX≥t(X≥t+h)=P(X≥h)P_{X\ge t} \left(X\ge t+h\right)=P\left(X\ge h\right)
Il en résulte que d'après l'énoncé, on cherche à calculer :
PX≥2(X≥6)=PX≥2(X≥2+4)P_{X\ge 2} \left(X\ge 6\right)=P_{X\ge 2} \left(X\ge 2+4\right)
Donc d'après la formule ci-dessus :
PX≥2(X≥6)=P(X≥4)P_{X\ge 2} \left(X\ge 6\right)=P\left(X\ge 4\right)

La fonction de densité de probabilité de la loi exponentielle sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[ est f(x)=λe−λxf\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x} où λ\lambda est un réel positif.
  • P(a≤X≤b)=∫abλe−λxdx=[−e−λx]ab=e−λa−e−λbP\left(a\le X\le b\right)=\int _{a}^{b}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{a}^{b} =e^{-\lambda a} -e^{-\lambda b}
  • P(X≤a)=P(0≤X≤a)=∫0aλe−λxdx=[−e−λx]0a=1−e−λaP\left(X\le a\right)=P\left(0\le X\le a\right)=\int _{0}^{a}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{0}^{a} =1-e^{-\lambda a}
  • P(X≥a)=1−P(X≤a)=1−(1−e−λa)=e−λaP\left(X\ge a\right)=1-P\left(X\le a\right)=1-\left(1-e^{-\lambda a} \right)=e^{-\lambda a}
D'après le rappel : P(X≥a)=e−λaP\left(X\ge a\right)=e^{-\lambda a} .
Ainsi :
PX≥2(X≥6)=P(X≥4)=e−0,2×4P_{X\ge 2} \left(X\ge 6\right)=P\left(X\ge 4\right)=e^{-0,2\times4}
D'où :
PX≥2(X≥6)≈0,45P_{X\ge 2} \left(X\ge 6\right)\approx 0,45
à 10−210^{-2} près.
Sachant qu'une console n'a pas eu de panne au cours des deux premières années, la probabilité qu'elle soit encore en état de marche au bout de six ans est d'environ 0,450,45.
Question 4

A quel instant tt à un mois prés, la probabilité qu'une console tombe en panne pour la première fois est-elle de 0,50,5 ?

Correction
On souhaite savoir pour quelle valeur de tt, on aura : P(X≤t)=0,5P\left(X\le t\right)=0,5 .

La fonction de densité de probabilité de la loi exponentielle sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[ est f(x)=λe−λxf\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x} où λ\lambda est un réel positif.
  • P(a≤X≤b)=∫abλe−λxdx=[−e−λx]ab=e−λa−e−λbP\left(a\le X\le b\right)=\int _{a}^{b}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{a}^{b} =e^{-\lambda a} -e^{-\lambda b}
  • P(X≤a)=P(0≤X≤a)=∫0aλe−λxdx=[−e−λx]0a=1−e−λaP\left(X\le a\right)=P\left(0\le X\le a\right)=\int _{0}^{a}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{0}^{a} =1-e^{-\lambda a}
  • P(X≥a)=1−P(X≤a)=1−(1−e−λa)=e−λaP\left(X\ge a\right)=1-P\left(X\le a\right)=1-\left(1-e^{-\lambda a} \right)=e^{-\lambda a}
D'après le rappel : P(X≤a)=1−e−λaP\left(X\le a\right)=1-e^{-\lambda a} .
Ainsi :
P(X≤t)=0,5P\left(X\le t\right)=0,5 équivaut successivement à :
1−e−0,2t=0,51-e^{-0,2t} =0,5
−e−0,2t=0,5−1-e^{-0,2t} =0,5-1
−e−0,2t=−0,5-e^{-0,2t} =-0,5
e−0,2t=0,5e^{-0,2t} =0,5
ln⁡(e−0,2t)=ln⁡(0,5)\ln \left(e^{-0,2t} \right)=\ln \left(0,5\right)
−0,2t=ln⁡(0,5)-0,2t=\ln \left(0,5\right)
t=ln⁡(0,5)−0,2t=\frac{\ln \left(0,5\right)}{-0,2}
t≈3,5t\approx 3,5

Il y a 50%50\% de chance qu'une console tombe en panne pour la première fois au bout de 33 ans et 66 mois.