Lois de probabilités à densité

Exercices types : La loi exponentielle - Exercice 3

20 min
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Question 1
Le laboratoire de physique d’un lycée dispose d’un parc d’oscilloscopes identiques. La durée de vie en années d’un oscilloscope est une variable aléatoire notée XX qui suit la «loi de durée de vie sans vieillissement » (ou encore loi exponentielle de paramètre λ\lambda avec λ>0\lambda>0 ). Toutes les probabilités seront données à 10−310^{-3} près.

Sachant que P(X≥10)=0,286P\left(X\ge 10\right)=0,286 montrer qu’une valeur approchée à 10−310^{-3} près de λ\lambda est 0,1250,125.

Correction

La fonction de densité de probabilité de la loi exponentielle sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[ est f(x)=λe−λxf\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x} où λ\lambda est un réel positif.
  • P(a≤X≤b)=∫abλe−λxdx=[−e−λx]ab=e−λa−e−λbP\left(a\le X\le b\right)=\int _{a}^{b}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{a}^{b} =e^{-\lambda a} -e^{-\lambda b}
  • P(X≤a)=P(0≤X≤a)=∫0aλe−λxdx=[−e−λx]0a=1−e−λaP\left(X\le a\right)=P\left(0\le X\le a\right)=\int _{0}^{a}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{0}^{a} =1-e^{-\lambda a}
  • P(X≥a)=1−P(X≤a)=1−(1−e−λa)=e−λaP\left(X\ge a\right)=1-P\left(X\le a\right)=1-\left(1-e^{-\lambda a} \right)=e^{-\lambda a}
D'après le rappel :
P(X≥10)=e−10λP\left(X\ge 10\right)=e^{-10\lambda } et comme P(X≥10)=0,286P\left(X\ge 10\right)=0,286
Il en résulte donc que :
e−10λ=0,286e^{-10\lambda } =0,286 (voir la vidéo sur les équations exponentielles si besoin)
e−10λ=eln⁡(0,286)e^{-10\lambda } =e^{\ln \left(0,286\right)}
−10λ=ln⁡(0,286)-10\lambda =\ln \left(0,286\right)
λ=ln⁡(0,286)−10\lambda =\frac{\ln \left(0,286\right)}{-10}
Ainsi :
λ≈0,125\lambda \approx 0,125
à 10−310^{-3} près.
Question 2
On prendra 0,1250,125 pour valeur de λλ dans la suite de l’exercice.

Calculer la probabilité qu’un oscilloscope du modèle étudié ait une durée de vie inférieure à 66 mois.

Correction
Ici, il faut être vigilant. Il faut transformer les 66 mois en année, ce qui nous donne 0,50,5 an.
Nous voulons donc calculer la probabilité P(X≤0,5)P\left(X\le 0,5\right) .

La fonction de densité de probabilité de la loi exponentielle sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[ est f(x)=λe−λxf\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x} où λ\lambda est un réel positif.
  • P(a≤X≤b)=∫abλe−λxdx=[−e−λx]ab=e−λa−e−λbP\left(a\le X\le b\right)=\int _{a}^{b}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{a}^{b} =e^{-\lambda a} -e^{-\lambda b}
  • P(X≤a)=P(0≤X≤a)=∫0aλe−λxdx=[−e−λx]0a=1−e−λaP\left(X\le a\right)=P\left(0\le X\le a\right)=\int _{0}^{a}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{0}^{a} =1-e^{-\lambda a}
  • P(X≥a)=1−P(X≤a)=1−(1−e−λa)=e−λaP\left(X\ge a\right)=1-P\left(X\le a\right)=1-\left(1-e^{-\lambda a} \right)=e^{-\lambda a}
D'après le rappel : P(X≤a)=1−e−λaP\left(X\le a\right)=1-e^{-\lambda a} ce qui nous donne :
P(X≤0,5)=1−e−0,125×0,5P\left(X\le 0,5\right)=1-e^{-0,125\times 0,5}
P(X≤0,5)≈0,061P\left(X\le 0,5\right)\approx0,061
à 10−310^{-3} près.
Question 3

Sachant qu’un appareil a déjà fonctionné huit années, quelle est la probabilité qu’il ait une durée de vie supérieure dix ans?

Correction

La loi exponentielle est une loi sans vieillissement ou sans mémoire c'est-à-dire que :
∀t>0\forall t>0 et h>0h>0 on a PX≥t(X≥t+h)=P(X≥h)P_{X\ge t} \left(X\ge t+h\right)=P\left(X\ge h\right)
Il en résulte que d'après l'énoncé, on cherche à calculer :
PX≥8(X≥10)=PX≥8(X≥8+2)P_{X\ge 8} \left(X\ge 10\right)=P_{X\ge 8} \left(X\ge 8+2\right)
Donc d'après la formule ci-dessus :
PX≥8(X≥10)=P(X≥2)P_{X\ge 8} \left(X\ge 10\right)=P\left(X\ge 2\right)

La fonction de densité de probabilité de la loi exponentielle sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[ est f(x)=λe−λxf\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x} où λ\lambda est un réel positif.
  • P(a≤X≤b)=∫abλe−λxdx=[−e−λx]ab=e−λa−e−λbP\left(a\le X\le b\right)=\int _{a}^{b}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{a}^{b} =e^{-\lambda a} -e^{-\lambda b}
  • P(X≤a)=P(0≤X≤a)=∫0aλe−λxdx=[−e−λx]0a=1−e−λaP\left(X\le a\right)=P\left(0\le X\le a\right)=\int _{0}^{a}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{0}^{a} =1-e^{-\lambda a}
  • P(X≥a)=1−P(X≤a)=1−(1−e−λa)=e−λaP\left(X\ge a\right)=1-P\left(X\le a\right)=1-\left(1-e^{-\lambda a} \right)=e^{-\lambda a}
D'après le rappel : P(X≥a)=e−λaP\left(X\ge a\right)=e^{-\lambda a} .
Ainsi :
PX≥8(X≥10)=P(X≥2)=e−0,125×2P_{X\ge 8} \left(X\ge 10\right)=P\left(X\ge 2\right)=e^{-0,125\times2}
D'où :
PX≥8(X≥10)≈0,779P_{X\ge 8} \left(X\ge 10\right)\approx 0,779

Sachant qu’un appareil a déjà fonctionné huit années, la probabilité qu’il ait une durée de vie supérieure dix ans est d'environ 0,7790,779.
Question 4
On considère que la durée de vie d’un oscilloscope est indépendante de celle des autres appareils. Le responsable du laboratoire décide de commander 1515 oscilloscopes.

Quelle est la probabilité qu’au moins un oscilloscope ait une durée de vie supérieure à 1010 ans?

Correction
La probabilité d'un oscilloscope ait une durée de vie supérieure à 1010 ans est de 0,2860,286
On est donc en présence d'un schéma de Bernoulli :
On appelle succès "un oscilloscope a une durée de vie supérieure à 1010 ans" avec la probabilité p=0,286p=0,286
On appelle échec "un oscilloscope a une durée de vie inférieure à 1010 ans" avec la probabilité 1−p=0,7141-p=0,714
On répète 1515 fois de suite cette expérience de façon indépendante.
YY est la variable aléatoire qui associe le nombre d'oscilloscope dont la durée de vie supérieure à 1010 ans.
YY suit la loi binomiale de paramètre n=15n=15 et p=0,286p=0,286
On note alors Y∼B(15;0,286)Y \sim B\left(15; 0,286 \right)

On doit calculer P(Y≥1)P\left(Y\ge 1\right). Or P(Y≥1)=1−P(Y=0)P\left(Y\ge 1\right)=1-P\left(Y=0\right)
Pour le calcul de P(Y=0)P\left(Y=0\right)
Avec une Texas, on tape pour P(Y=0)P\left(Y=0\right) :
(tu peux regarder la fiche "Utiliser la loi binomiale avec une Texas" pour plus de détails)2nd - DISTR -- puis choisir
BinomFdp(valeur de n, valeur de p, valeur de k) c'est-à-dire ici BinomFdp(1515, 0,2860,286 , 0) puis taper sur enter et on obtient :
P(Y=0)≈0,006P\left(Y=0\right)\approx 0,006
arrondi à 10−310^{-3} près.
Pour certaine version de Texas, on aura BinomPdf au lieu de BinomFdp.
Enfin P(Y≥1)=1−P(Y=0)P\left(Y\ge 1\right)=1-P\left(Y=0\right) soit P(Y≥1)=1−P(Y=0)P\left(Y\ge 1\right)=1-P\left(Y=0\right) d'où :
P(Y≥1)≈1−0,006≈0,994P\left(Y\ge 1\right)\approx 1-0,006\approx 0,994 arrondi à 10−310^{-3} près.
Avec une Casio Graph 35+ ou modèle supérieur, on tape pour P(Y=0)P\left(Y=0\right)
(tu peux regarder la fiche "Utiliser la loi binomiale avec une Casio" pour plus de détails)
Choisir Menu Stat puis DIST puis BINM et prendre BPD puis VAR.

On remplit le tableau de la manière qui suit :
D.P Binomiale
Data Variable
xx : 00 valeur de kk
Numtrial : 1515 valeur de nn
pp : 0,2860,286 valeur de pp

puis taper sur EXE et on obtient :
P(Y=0)≈0,006P\left(Y=0\right)\approx 0,006
arrondi à 10−310^{-3} près.
Enfin P(Y≥1)=1−P(Y=0)P\left(Y\ge 1\right)=1-P\left(Y=0\right) soit P(Y≥1)=1−P(Y=0)P\left(Y\ge 1\right)=1-P\left(Y=0\right) d'où
P(Y≥1)≈1−0,006≈0,994P\left(Y\ge 1\right)\approx 1-0,006\approx 0,994 arrondi à 10−310^{-3} près.