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Sachant qu’un appareil a déjà fonctionné huit années, quelle est la probabilité qu’il ait une durée de vie supérieure dix ans?
La loi exponentielle est une loi sans vieillissement ou sans mémoire c'est-à-dire que :
∀t>0 et
h>0 on a
PX≥t(X≥t+h)=P(X≥h)Il en résulte que d'après l'énoncé, on cherche à calculer :
PX≥8(X≥10)=PX≥8(X≥8+2)Donc d'après la formule ci-dessus :
PX≥8(X≥10)=P(X≥2)La fonction de densité de probabilité de la loi exponentielle sur
[0;+∞[ est
f(x)=λe−λx où
λ est un réel positif.
- P(a≤X≤b)=∫abλe−λxdx=[−e−λx]ab=e−λa−e−λb
- P(X≤a)=P(0≤X≤a)=∫0aλe−λxdx=[−e−λx]0a=1−e−λa
- P(X≥a)=1−P(X≤a)=1−(1−e−λa)=e−λa
D'après le rappel :
P(X≥a)=e−λa .
Ainsi :
PX≥8(X≥10)=P(X≥2)=e−0,125×2D'où :
PX≥8(X≥10)≈0,779 Sachant qu’un appareil a déjà fonctionné huit années, la probabilité qu’il ait une durée de vie supérieure dix ans est d'environ
0,779.