Lois de probabilités à densité

Exercices types : La loi exponentielle

Exercice 1

La durée de vie d'une tablette ITAD, exprimée en années, est une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre

\lambda

. On admet qu'en moyenne, une tablette a une durée de vie de

8

ans.

Quelle est la valeur de $\lambda$ .

Correction

Déterminer la probabilité qu'une tablette ait une durée de vie supérieure à $8$ ans, puis la probabilité qu'une tablette ait une durée de vie supérieure à $10$ ans. Donner les valeurs exactes.

Correction

Si une telle tablette fonctionne pendant $2$ ans, quelle est la probabilité qu'elle ait une durée de vie supérieure à $10$ ans.
Vous devrez justifier toutes les étapes et ne pas utiliser les formules directement. Le résultat sera donnée à $10^{-2}$ près.

Correction

La loi exponentielle est une loi sans vieillissement ou sans mémoire c'est-à-dire que :

\forall t>0

h>0

on a

P_{X\ge t} \left(X\ge t+h\right)=P\left(X\ge h\right)

Il en résulte que d'après l'énoncé, on cherche à calculer :

P_{X\ge 2} \left(X\ge 10\right)=P_{X\ge 2} \left(X\ge 2+8\right)

Donc d'après la formule ci-dessus :

P_{X\ge 2} \left(X\ge 10\right)=P\left(X\ge 8\right)

La fonction de densité de probabilité de la loi exponentielle sur

\left[0;+\infty \right[

est

f\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x}

où

\lambda

est un réel positif.

$P\left(a\le X\le b\right)=\int _{a}^{b}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{a}^{b} =e^{-\lambda a} -e^{-\lambda b}$
$P\left(X\le a\right)=P\left(0\le X\le a\right)=\int _{0}^{a}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{0}^{a} =1-e^{-\lambda a}$
$P\left(X\ge a\right)=1-P\left(X\le a\right)=1-\left(1-e^{-\lambda a} \right)=e^{-\lambda a}$

D'après le rappel :

P\left(X\ge a\right)=e^{-\lambda a}

.
Ainsi :

P_{X\ge 2} \left(X\ge 10\right)=P\left(X\ge 8\right)=e^{-0,125\times8}

D'où :

P_{X\ge 2} \left(X\ge 10\right)\approx 0,368

Si une telle tablette fonctionne pendant

2

ans, la probabilité qu'elle ait une durée de vie supérieure à

10

ans est de

0,368

Exercice 2

Soit

X

une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre

\lambda

. Une étude statistique a permis d’évaluer que

P\left(X\ge 25\right)=0,368

Donner une valeur de $\lambda$ à $10^{-2}$ près.

Correction

Exercice 3

Le laboratoire de physique d’un lycée dispose d’un parc d’oscilloscopes identiques. La durée de vie en années d’un oscilloscope est une variable aléatoire notée

X

qui suit la «loi de durée de vie sans vieillissement » (ou encore loi exponentielle de paramètre

\lambda

avec

\lambda>0

). Toutes les probabilités seront données à

10^{-3}

près.

Sachant que $P\left(X\ge 10\right)=0,286$ montrer qu’une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $\lambda$ est $0,125$ .

Correction

On prendra

0,125

pour valeur de

λ

dans la suite de l’exercice.

Calculer la probabilité qu’un oscilloscope du modèle étudié ait une durée de vie inférieure à $6$ mois.

Correction

Sachant qu’un appareil a déjà fonctionné huit années, quelle est la probabilité qu’il ait une durée de vie supérieure dix ans?

Correction

La loi exponentielle est une loi sans vieillissement ou sans mémoire c'est-à-dire que :

\forall t>0

h>0

on a

P_{X\ge t} \left(X\ge t+h\right)=P\left(X\ge h\right)

Il en résulte que d'après l'énoncé, on cherche à calculer :

P_{X\ge 8} \left(X\ge 10\right)=P_{X\ge 8} \left(X\ge 8+2\right)

Donc d'après la formule ci-dessus :

P_{X\ge 8} \left(X\ge 10\right)=P\left(X\ge 2\right)

La fonction de densité de probabilité de la loi exponentielle sur

\left[0;+\infty \right[

est

f\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x}

où

\lambda

est un réel positif.

$P\left(a\le X\le b\right)=\int _{a}^{b}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{a}^{b} =e^{-\lambda a} -e^{-\lambda b}$
$P\left(X\le a\right)=P\left(0\le X\le a\right)=\int _{0}^{a}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{0}^{a} =1-e^{-\lambda a}$
$P\left(X\ge a\right)=1-P\left(X\le a\right)=1-\left(1-e^{-\lambda a} \right)=e^{-\lambda a}$

D'après le rappel :

P\left(X\ge a\right)=e^{-\lambda a}

.
Ainsi :

P_{X\ge 8} \left(X\ge 10\right)=P\left(X\ge 2\right)=e^{-0,125\times2}

D'où :

P_{X\ge 8} \left(X\ge 10\right)\approx 0,779

Sachant qu’un appareil a déjà fonctionné huit années, la probabilité qu’il ait une durée de vie supérieure dix ans est d'environ

0,779

On considère que la durée de vie d’un oscilloscope est indépendante de celle des autres appareils. Le responsable du laboratoire décide de commander

15

oscilloscopes.

Quelle est la probabilité qu’au moins un oscilloscope ait une durée de vie supérieure à $10$ ans?

Correction

La probabilité d'un oscilloscope ait une durée de vie supérieure à

10

ans est de

0,286

On est donc en présence d'un schéma de Bernoulli :
On appelle succès "un oscilloscope a une durée de vie supérieure à

10

ans" avec la probabilité

p=0,286

On appelle échec "un oscilloscope a une durée de vie inférieure à

10

ans" avec la probabilité

1-p=0,714

On répète

15

fois de suite cette expérience de façon indépendante.

Y

est la variable aléatoire qui associe le nombre d'oscilloscope dont la durée de vie supérieure à

10

ans.

Y

suit la loi binomiale de paramètre

n=15

p=0,286

On note alors

Y \sim B\left(15; 0,286 \right)

On doit calculer

P\left(Y\ge 1\right)

. Or

P\left(Y\ge 1\right)=1-P\left(Y=0\right)

Pour le calcul de

P\left(Y=0\right)

Avec une Texas, on tape pour

P\left(Y=0\right)

:
(tu peux regarder la fiche "Utiliser la loi binomiale avec une Texas" pour plus de détails)2^nd - DISTR -- puis choisir
BinomFdp(valeur de n, valeur de p, valeur de k) c'est-à-dire ici BinomFdp( $15$ , $0,286$ , 0) puis taper sur enter et on obtient :

P\left(Y=0\right)\approx 0,006

arrondi à

10^{-3}

près.
Pour certaine version de Texas, on aura BinomPdf au lieu de BinomFdp.
Enfin

P\left(Y\ge 1\right)=1-P\left(Y=0\right)

soit

P\left(Y\ge 1\right)=1-P\left(Y=0\right)

d'où :

P\left(Y\ge 1\right)\approx 1-0,006\approx 0,994

arrondi à

10^{-3}

près.
Avec une Casio Graph 35+ ou modèle supérieur, on tape pour

P\left(Y=0\right)

(tu peux regarder la fiche "Utiliser la loi binomiale avec une Casio" pour plus de détails)
Choisir Menu Stat puis DIST puis BINM et prendre BPD puis VAR.

On remplit le tableau de la manière qui suit :

D.P Binomiale
Data Variable

x

0

valeur de

k

Numtrial :

15

valeur de

n

p

0,286

valeur de

p

puis taper sur EXE et on obtient :

P\left(Y=0\right)\approx 0,006

arrondi à

10^{-3}

près.
Enfin

P\left(Y\ge 1\right)=1-P\left(Y=0\right)

soit

P\left(Y\ge 1\right)=1-P\left(Y=0\right)

d'où

P\left(Y\ge 1\right)\approx 1-0,006\approx 0,994

arrondi à

10^{-3}

près.

Exercice 4

La durée de vie d'une console exprimée en années, jusqu'à ce que survienne la première panne, est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre

\lambda

avec

\lambda>0

). Toutes les probabilités seront données à

10^{-3}

près.

Sachant que $P\left(X\ge 6\right)=0,3$ déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $\lambda$ .

Correction

On prendra

0,2

pour valeur de

λ

dans la suite de l’exercice.

Montrer que la probabilité qu'une console n'ait pas eu de panne au cours des deux premières années est de $e^{-0,4}$ .

Correction

Sachant qu'une console n'a pas eu de panne au cours des deux premières années, quelle est à $10^{-2}$ près, la probabilité qu'elle soit encore en état de marche au bout de six ans ?

Correction

La loi exponentielle est une loi sans vieillissement ou sans mémoire c'est-à-dire que :

\forall t>0

h>0

on a

P_{X\ge t} \left(X\ge t+h\right)=P\left(X\ge h\right)

Il en résulte que d'après l'énoncé, on cherche à calculer :

P_{X\ge 2} \left(X\ge 6\right)=P_{X\ge 2} \left(X\ge 2+4\right)

Donc d'après la formule ci-dessus :

P_{X\ge 2} \left(X\ge 6\right)=P\left(X\ge 4\right)

La fonction de densité de probabilité de la loi exponentielle sur

\left[0;+\infty \right[

est

f\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x}

où

\lambda

est un réel positif.

$P\left(a\le X\le b\right)=\int _{a}^{b}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{a}^{b} =e^{-\lambda a} -e^{-\lambda b}$
$P\left(X\le a\right)=P\left(0\le X\le a\right)=\int _{0}^{a}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{0}^{a} =1-e^{-\lambda a}$
$P\left(X\ge a\right)=1-P\left(X\le a\right)=1-\left(1-e^{-\lambda a} \right)=e^{-\lambda a}$

D'après le rappel :

P\left(X\ge a\right)=e^{-\lambda a}

.
Ainsi :

P_{X\ge 2} \left(X\ge 6\right)=P\left(X\ge 4\right)=e^{-0,2\times4}

D'où :

P_{X\ge 2} \left(X\ge 6\right)\approx 0,45

10^{-2}

près.
Sachant qu'une console n'a pas eu de panne au cours des deux premières années, la probabilité qu'elle soit encore en état de marche au bout de six ans est d'environ

0,45

A quel instant $t$ à un mois prés, la probabilité qu'une console tombe en panne pour la première fois est-elle de $0,5$ ?

Correction

Exercice 5

Dans une salle d'attente chez un médecin débordé, de nombreux patients attendent leur rendez vous.
On admet que la variable aléatoire

X

, qui, à chaque patient, associe le temps d’attente en minutes pour que le médecin soit disponible, suit une loi exponentielle de paramètre

\lambda

Le temps d’attente moyen est de $40$ minutes. Sachant qu’un client a déjà attendu $40$ minutes, quelle la probabilité que son attente totale dépasse une $50$ minutes ?

Correction

X

suit la loi exponentielle de paramètre

\lambda

alors son espérance mathématique vaut :

E\left(X\right)=\frac{1}{\lambda}

Ainsi :

E\left(X\right)=40

.
Or :

E\left(X\right)=\frac{1}{\lambda }

, il vient alors que :

\frac{1}{\lambda } =40\Leftrightarrow

\lambda =\frac{1}{40}=0,025

La loi exponentielle est une loi sans vieillissement ou sans mémoire c'est-à-dire que :

\forall t>0

h>0

on a

P_{X\ge t} \left(X\ge t+h\right)=P\left(X\ge h\right)

Il en résulte que d'après l'énoncé, on cherche à calculer :

P_{X\ge 40} \left(X\ge 50\right)=P_{X\ge 40} \left(X\ge 40+10\right)

Donc d'après la formule ci-dessus :

P_{X\ge 40} \left(X\ge 50\right)=P\left(X\ge 10\right)

La fonction de densité de probabilité de la loi exponentielle sur

\left[0;+\infty \right[

est

f\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x}

où

\lambda

est un réel positif.

$P\left(a\le X\le b\right)=\int _{a}^{b}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{a}^{b} =e^{-\lambda a} -e^{-\lambda b}$
$P\left(X\le a\right)=P\left(0\le X\le a\right)=\int _{0}^{a}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{0}^{a} =1-e^{-\lambda a}$
$P\left(X\ge a\right)=1-P\left(X\le a\right)=1-\left(1-e^{-\lambda a} \right)=e^{-\lambda a}$

D'après le rappel :

P\left(X\ge a\right)=e^{-\lambda a}

.
Ainsi :

P_{X\ge 40} \left(X\ge 50\right)=P\left(X\ge 10\right)=e^{-0,025\times10}

D'où :

P_{X\ge 40} \left(X\ge 50\right)= e^{-0,25}\approx0,78

Exercice 6

On estime que la durée de vie d'un ordinateur suit une loi exponentielle de paramètre

\lambda

et on note

X

la variable aléatoire qui à un ordinateur choisi au hasard associe sa durée de vie en années.
On a pu mesurer qu’au bout de

5

ans, la moitié des ordinateurs sont défectueux.

Déterminer la valeur de $\lambda$ arrondie à $10^{-3}$ près.

Correction

En déduire la durée de vie moyenne de ces ordinateurs.

Correction

Exercices types : La loi exponentielle

Exercice 1

Quelle est la valeur de λ\lambdaλ.

Déterminer la probabilité qu'une tablette ait une durée de vie supérieure à 888 ans, puis la probabilité qu'une tablette ait une durée de vie supérieure à 101010 ans. Donner les valeurs exactes.

Si une telle tablette fonctionne pendant 222 ans, quelle est la probabilité qu'elle ait une durée de vie supérieure à 101010 ans.Vous devrez justifier toutes les étapes et ne pas utiliser les formules directement. Le résultat sera donnée à 10−210^{-2}10−2 près.

Exercice 2

Donner une valeur de λ\lambdaλ à 10−210^{-2}10−2 près.

Exercice 3

Sachant que P(X≥10)=0,286P\left(X\ge 10\right)=0,286P(X≥10)=0,286 montrer qu’une valeur approchée à 10−310^{-3}10−3 près de λ\lambdaλ est 0,1250,1250,125.

Calculer la probabilité qu’un oscilloscope du modèle étudié ait une durée de vie inférieure à 666 mois.

Sachant qu’un appareil a déjà fonctionné huit années, quelle est la probabilité qu’il ait une durée de vie supérieure dix ans?

Quelle est la probabilité qu’au moins un oscilloscope ait une durée de vie supérieure à 101010 ans?

Exercice 4

Sachant que P(X≥6)=0,3P\left(X\ge 6\right)=0,3P(X≥6)=0,3 déterminer une valeur approchée à 10−210^{-2}10−2 près de λ\lambdaλ .

Montrer que la probabilité qu'une console n'ait pas eu de panne au cours des deux premières années est de e−0,4e^{-0,4}e−0,4 .

Sachant qu'une console n'a pas eu de panne au cours des deux premières années, quelle est à 10−210^{-2}10−2 près, la probabilité qu'elle soit encore en état de marche au bout de six ans ?

A quel instant ttt à un mois prés, la probabilité qu'une console tombe en panne pour la première fois est-elle de 0,50,50,5 ?

Exercice 5

Le temps d’attente moyen est de 404040 minutes. Sachant qu’un client a déjà attendu 404040 minutes, quelle la probabilité que son attente totale dépasse une 505050 minutes ?

Exercice 6

Déterminer la valeur de λ\lambdaλ arrondie à 10−310^{-3} 10−3 près.

En déduire la durée de vie moyenne de ces ordinateurs.

Quelle est la valeur de $\lambda$ .

Déterminer la probabilité qu'une tablette ait une durée de vie supérieure à $8$ ans, puis la probabilité qu'une tablette ait une durée de vie supérieure à $10$ ans. Donner les valeurs exactes.

Si une telle tablette fonctionne pendant $2$ ans, quelle est la probabilité qu'elle ait une durée de vie supérieure à $10$ ans.
Vous devrez justifier toutes les étapes et ne pas utiliser les formules directement. Le résultat sera donnée à $10^{-2}$ près.

Donner une valeur de $\lambda$ à $10^{-2}$ près.

Sachant que $P\left(X\ge 10\right)=0,286$ montrer qu’une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $\lambda$ est $0,125$ .

Calculer la probabilité qu’un oscilloscope du modèle étudié ait une durée de vie inférieure à $6$ mois.

Quelle est la probabilité qu’au moins un oscilloscope ait une durée de vie supérieure à $10$ ans?

Sachant que $P\left(X\ge 6\right)=0,3$ déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $\lambda$ .

Montrer que la probabilité qu'une console n'ait pas eu de panne au cours des deux premières années est de $e^{-0,4}$ .

Sachant qu'une console n'a pas eu de panne au cours des deux premières années, quelle est à $10^{-2}$ près, la probabilité qu'elle soit encore en état de marche au bout de six ans ?

A quel instant $t$ à un mois prés, la probabilité qu'une console tombe en panne pour la première fois est-elle de $0,5$ ?

Le temps d’attente moyen est de $40$ minutes. Sachant qu’un client a déjà attendu $40$ minutes, quelle la probabilité que son attente totale dépasse une $50$ minutes ?

Déterminer la valeur de $\lambda$ arrondie à $10^{-3}$ près.