Lois de probabilités à densité

Exercices types : La loi exponentielle

Exercice 1

La durée de vie d'une tablette ITAD, exprimée en années, est une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ\lambda . On admet qu'en moyenne, une tablette a une durée de vie de 88 ans.
1

Quelle est la valeur de λ\lambda.

Correction
2

Déterminer la probabilité qu'une tablette ait une durée de vie supérieure à 88 ans, puis la probabilité qu'une tablette ait une durée de vie supérieure à 1010 ans. Donner les valeurs exactes.

Correction
3

Si une telle tablette fonctionne pendant 22 ans, quelle est la probabilité qu'elle ait une durée de vie supérieure à 1010 ans.
Vous devrez justifier toutes les étapes et ne pas utiliser les formules directement. Le résultat sera donnée à 10210^{-2} près.

Correction

Exercice 2

Soit XX une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ\lambda. Une étude statistique a permis d’évaluer que P(X25)=0,368P\left(X\ge 25\right)=0,368.
1

Donner une valeur de λ\lambda à 10210^{-2} près.

Correction

Exercice 3

Le laboratoire de physique d’un lycée dispose d’un parc d’oscilloscopes identiques. La durée de vie en années d’un oscilloscope est une variable aléatoire notée XX qui suit la «loi de durée de vie sans vieillissement » (ou encore loi exponentielle de paramètre λ\lambda avec λ>0\lambda>0 ). Toutes les probabilités seront données à 10310^{-3} près.
1

Sachant que P(X10)=0,286P\left(X\ge 10\right)=0,286 montrer qu’une valeur approchée à 10310^{-3} près de λ\lambda est 0,1250,125.

Correction
On prendra 0,1250,125 pour valeur de λλ dans la suite de l’exercice.
2

Calculer la probabilité qu’un oscilloscope du modèle étudié ait une durée de vie inférieure à 66 mois.

Correction
3

Sachant qu’un appareil a déjà fonctionné huit années, quelle est la probabilité qu’il ait une durée de vie supérieure dix ans?

Correction
On considère que la durée de vie d’un oscilloscope est indépendante de celle des autres appareils. Le responsable du laboratoire décide de commander 1515 oscilloscopes.
4

Quelle est la probabilité qu’au moins un oscilloscope ait une durée de vie supérieure à 1010 ans?

Correction

Exercice 4

La durée de vie d'une console exprimée en années, jusqu'à ce que survienne la première panne, est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ\lambda avec λ>0\lambda>0 ). Toutes les probabilités seront données à 10310^{-3} près.
1

Sachant que P(X6)=0,3P\left(X\ge 6\right)=0,3 déterminer une valeur approchée à 10210^{-2} près de λ\lambda .

Correction
On prendra 0,20,2 pour valeur de λλ dans la suite de l’exercice.
2

Montrer que la probabilité qu'une console n'ait pas eu de panne au cours des deux premières années est de e0,4e^{-0,4} .

Correction
3

Sachant qu'une console n'a pas eu de panne au cours des deux premières années, quelle est à 10210^{-2} près, la probabilité qu'elle soit encore en état de marche au bout de six ans ?

Correction
4

A quel instant tt à un mois prés, la probabilité qu'une console tombe en panne pour la première fois est-elle de 0,50,5 ?

Correction

Exercice 5

Dans une salle d'attente chez un médecin débordé, de nombreux patients attendent leur rendez vous.
On admet que la variable aléatoire XX, qui, à chaque patient, associe le temps d’attente en minutes pour que le médecin soit disponible, suit une loi exponentielle de paramètre λ\lambda.
1

Le temps d’attente moyen est de 4040 minutes. Sachant qu’un client a déjà attendu 4040 minutes, quelle la probabilité que son attente totale dépasse une 5050 minutes ?

Correction

Exercice 6

On estime que la durée de vie d'un ordinateur suit une loi exponentielle de paramètre λ\lambda et on note XX la variable aléatoire qui à un ordinateur choisi au hasard associe sa durée de vie en années.
On a pu mesurer qu’au bout de 55 ans, la moitié des ordinateurs sont défectueux.
1

Déterminer la valeur de λ\lambda arrondie à 10310^{-3} près.

Correction
2

En déduire la durée de vie moyenne de ces ordinateurs.

Correction
Connecte-toi pour accéder à tes fiches !

Pour lire cette fiche, connecte-toi à ton compte.
Si tu n'en as pas, inscris-toi et essaie gratuitement pendant 24h.