Lois de probabilités à densité

Exercices types : La loi exponentielle - Exercice 1

12 min
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Question 1
La durée de vie d'une tablette ITAD, exprimée en années, est une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ\lambda . On admet qu'en moyenne, une tablette a une durée de vie de 88 ans.

Quelle est la valeur de λ\lambda.

Correction

Si XX suit la loi exponentielle de paramètre λ\lambda alors son espérance mathématique vaut : E(X)=1λE\left(X\right)=\frac{1}{\lambda} .
Ainsi : E(X)=8E\left(X\right)=8 .
Or : E(X)=1λE\left(X\right)=\frac{1}{\lambda } , il vient alors que : 1λ=8⇔\frac{1}{\lambda } =8\Leftrightarrow
λ=18=0,125\lambda =\frac{1}{8}=0,125

Question 2

Déterminer la probabilité qu'une tablette ait une durée de vie supérieure à 88 ans, puis la probabilité qu'une tablette ait une durée de vie supérieure à 1010 ans. Donner les valeurs exactes.

Correction

La fonction de densité de probabilité de la loi exponentielle sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[ est f(x)=λe−λxf\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x} où λ\lambda est un réel positif.
  • P(a≤X≤b)=∫abλe−λxdx=[−e−λx]ab=e−λa−e−λbP\left(a\le X\le b\right)=\int _{a}^{b}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{a}^{b} =e^{-\lambda a} -e^{-\lambda b}
  • P(X≤a)=P(0≤X≤a)=∫0aλe−λxdx=[−e−λx]0a=1−e−λaP\left(X\le a\right)=P\left(0\le X\le a\right)=\int _{0}^{a}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{0}^{a} =1-e^{-\lambda a}
  • P(X≥a)=1−P(X≤a)=1−(1−e−λa)=e−λaP\left(X\ge a\right)=1-P\left(X\le a\right)=1-\left(1-e^{-\lambda a} \right)=e^{-\lambda a}
Nous devons calculer P(X≥8)P\left(X\ge 8\right).
D'après le rappel, on a alors :
P(X≥8)=e−8λP\left(X\ge 8\right)=e^{-8\lambda} d'où : P(X≥8)=e−8×0,125P\left(X\ge 8\right)=e^{-8\times0,125}. Ainsi :
P(X≥8)=e−1P\left(X\ge 8\right)=e^{-1}

P(X≥10)=e−10λP\left(X\ge 10\right)=e^{-10\lambda} d'où : P(X≥10)=e−10×0,125P\left(X\ge 10\right)=e^{-10\times0,125}. Ainsi :
P(X≥10)=e−1,25P\left(X\ge 10\right)=e^{-1,25}
Question 3

Si une telle tablette fonctionne pendant 22 ans, quelle est la probabilité qu'elle ait une durée de vie supérieure à 1010 ans.
Vous devrez justifier toutes les étapes et ne pas utiliser les formules directement. Le résultat sera donnée à 10−210^{-2} près.

Correction

La loi exponentielle est une loi sans vieillissement ou sans mémoire c'est-à-dire que :
∀t>0\forall t>0 et h>0h>0 on a PX≥t(X≥t+h)=P(X≥h)P_{X\ge t} \left(X\ge t+h\right)=P\left(X\ge h\right)
Il en résulte que d'après l'énoncé, on cherche à calculer :
PX≥2(X≥10)=PX≥2(X≥2+8)P_{X\ge 2} \left(X\ge 10\right)=P_{X\ge 2} \left(X\ge 2+8\right)
Donc d'après la formule ci-dessus :
PX≥2(X≥10)=P(X≥8)P_{X\ge 2} \left(X\ge 10\right)=P\left(X\ge 8\right)

La fonction de densité de probabilité de la loi exponentielle sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[ est f(x)=λe−λxf\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x} où λ\lambda est un réel positif.
  • P(a≤X≤b)=∫abλe−λxdx=[−e−λx]ab=e−λa−e−λbP\left(a\le X\le b\right)=\int _{a}^{b}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{a}^{b} =e^{-\lambda a} -e^{-\lambda b}
  • P(X≤a)=P(0≤X≤a)=∫0aλe−λxdx=[−e−λx]0a=1−e−λaP\left(X\le a\right)=P\left(0\le X\le a\right)=\int _{0}^{a}\lambda e^{-\lambda x} dx=\left[-e^{-\lambda x} \right] _{0}^{a} =1-e^{-\lambda a}
  • P(X≥a)=1−P(X≤a)=1−(1−e−λa)=e−λaP\left(X\ge a\right)=1-P\left(X\le a\right)=1-\left(1-e^{-\lambda a} \right)=e^{-\lambda a}
D'après le rappel : P(X≥a)=e−λaP\left(X\ge a\right)=e^{-\lambda a} .
Ainsi :
PX≥2(X≥10)=P(X≥8)=e−0,125×8P_{X\ge 2} \left(X\ge 10\right)=P\left(X\ge 8\right)=e^{-0,125\times8}
D'où :
PX≥2(X≥10)≈0,368P_{X\ge 2} \left(X\ge 10\right)\approx 0,368

Si une telle tablette fonctionne pendant 22 ans, la probabilité qu'elle ait une durée de vie supérieure à 1010 ans est de 0,3680,368.