Lois de probabilités à densité

Exercices types : 11ère partie

Exercice 1

On étudie certaines caractéristiques d’un supermarché d’une petite ville.
Partie A-Démonstration préliminaire.
Soit XX une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,20,2. On rappelle que l’espérance de la variable aléatoire XX, notée E(X)E\left(X\right), est égale à : limx+0x0,2te0,2tdt\lim\limits_{x\to +\infty } \int _{0}^{x}0,2te^{-0,2t} dt .
Le but de cette partie est de démontrer que E(X)=5E\left(X\right)=5.
1

On note gg la fonction définie sur l’intervalle [0;+[\left[0;+\infty\right[ par g(t)=0,2te0,2tg\left(t\right)=0,2te^{-0,2t}. On définit la fonction GG sur l’intervalle [0;+[\left[0;+\infty\right[ par G(t)=(t5)e0,2tG\left(t\right)=\left(-t-5\right)e^{-0,2t}.
Vérifier que GG est une primitive de gg sur l’intervalle [0;+[\left[0;+\infty\right[.

Correction
2

En déduire que la valeur exacte de E(X)E\left(X\right) est 55. On pourra utiliser, sans le démontrer, le résultat suivant : limx+xe0,2x=0\lim\limits_{x\to +\infty }xe^{-0,2x}=0.

Correction
Partie B- Durée d’attente pour le paiement.
Ce supermarché laisse le choix au client d’utiliser seul des bornes automatiques de paiement ou bien de passer par une caisse gérée par un opérateur.
La durée d’attente à une borne automatique, exprimée en minutes, est modélisée par une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,20,2 minute.
3

Donner la durée moyenne d’attente d’un client à une borne automatique de paiement.

Correction
4

Calculer la probabilité, arrondie à 10310^{-3}, que la durée d’attente d’un client à une borne automatique de paiement soit supérieure à 1010 minutes.

Correction
L’étude commandée par le gérant conduit à la modélisation suivante :
  • parmi les clients ayant choisi de passer à une borne automatique, 86%86\% attendent moins de 1010 minutes;
  • parmi les clients passant en caisse, 63%63\% attendent moins de 1010 minutes.
  • On choisit un client du magasin au hasard et on définit les évènements suivants :
  • BB : « le client paye à une borne automatique » ;
  • B\overline{B} : « le client paye à une caisse avec opérateur »;
  • SS :« la durée d’attente du client lors du paiement est inférieure à 1010 minutes».
  • 5

    Une attente supérieure à dix minutes à une caisse avec opérateur ou à une borne automatique engendre chez le client une perception négative du magasin. Le gérant souhaite que plus de 75%75\% des clients attendent moins de 1010 minutes. Quelle est la proportion minimale de clients qui doivent choisir une borne automatique de paiement pour que cet objectif soit atteint?

    Correction
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