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Lois de probabilités à densité
Déterminer l'espérance et la variance d'une variable aléatoire qui suit une loi à densité - Exercice 1
5 min
20
Question 1
Soit
X
X
X
une variable aléatoire qui suit la loi de densité
f
:
x
↦
−
3
4
x
2
+
3
4
f:x\mapsto -\frac{3}{4} x^{2} +\frac{3}{4}
f
:
x
↦
−
4
3
x
2
+
4
3
sur l'intervalle
[
−
1
;
1
]
\left[-1;1\right]
[
−
1
;
1
]
.
Déterminer l'espérance
E
(
X
)
E\left(X\right)
E
(
X
)
et la variance
V
(
X
)
V\left(X\right)
V
(
X
)
.
Correction
Soit
X
X
X
une variable aléatoire à densité, de fonction de densité
f
f
f
sur l'intervalle
[
a
;
b
]
\left[a;b\right]
[
a
;
b
]
.
L’esp
e
ˊ
rance
\red{\text{L'espérance}}
L’esp
e
ˊ
rance
de
X
X
X
est :
E
(
X
)
=
∫
a
b
x
f
(
x
)
d
x
E\left(X\right)=\int _{a}^{b}xf\left(x\right) dx
E
(
X
)
=
∫
a
b
x
f
(
x
)
d
x
La variance
\red{\text{La variance}}
La variance
de
X
X
X
est :
V
(
X
)
=
∫
a
b
(
x
−
E
(
x
)
)
2
f
(
x
)
d
x
V\left(X\right)=\int _{a}^{b}\left(x-E\left(x\right)\right)^{2} f\left(x\right) dx
V
(
X
)
=
∫
a
b
(
x
−
E
(
x
)
)
2
f
(
x
)
d
x
Calcul de l’esp
e
ˊ
rance :
\blue{\text{Calcul de l’espérance : }}
Calcul de l’esp
e
ˊ
rance :
E
(
X
)
=
∫
−
1
1
x
×
(
−
3
4
x
2
+
3
4
)
d
x
E\left(X\right)=\int _{-1}^{1}x\times \left(-\frac{3}{4} x^{2} +\frac{3}{4} \right) dx
E
(
X
)
=
∫
−
1
1
x
×
(
−
4
3
x
2
+
4
3
)
d
x
E
(
X
)
=
∫
−
1
1
(
−
3
4
x
3
+
3
4
x
)
d
x
E\left(X\right)=\int _{-1}^{1}\left(-\frac{3}{4} x^{3} +\frac{3}{4} x\right) dx
E
(
X
)
=
∫
−
1
1
(
−
4
3
x
3
+
4
3
x
)
d
x
E
(
X
)
=
[
−
3
4
×
1
4
x
4
+
3
4
×
1
2
x
2
]
−
1
1
E\left(X\right)=\left[-\frac{3}{4} \times \frac{1}{4} x^{4} +\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} x^{2} \right]_{-1}^{1}
E
(
X
)
=
[
−
4
3
×
4
1
x
4
+
4
3
×
2
1
x
2
]
−
1
1
E
(
X
)
=
[
−
3
16
x
4
+
3
8
x
2
]
−
1
1
E\left(X\right)=\left[-\frac{3}{16} x^{4} +\frac{3}{8} x^{2} \right]_{-1}^{1}
E
(
X
)
=
[
−
16
3
x
4
+
8
3
x
2
]
−
1
1
E
(
X
)
=
(
−
3
16
×
1
4
+
3
8
×
1
2
)
−
(
−
3
16
×
(
−
1
)
4
+
3
8
×
(
−
1
)
2
)
E\left(X\right)=\left(-\frac{3}{16} \times 1^{4} +\frac{3}{8} \times 1^{2} \right)-\left(-\frac{3}{16} \times \left(-1\right)^{4} +\frac{3}{8} \times \left(-1\right)^{2} \right)
E
(
X
)
=
(
−
16
3
×
1
4
+
8
3
×
1
2
)
−
(
−
16
3
×
(
−
1
)
4
+
8
3
×
(
−
1
)
2
)
E
(
X
)
=
3
16
−
(
3
16
)
E\left(X\right)=\frac{3}{16} -\left(\frac{3}{16} \right)
E
(
X
)
=
16
3
−
(
16
3
)
Ainsi :
E
(
X
)
=
0
E\left(X\right)=0
E
(
X
)
=
0
Calcul de la variance :
\blue{\text{Calcul de la variance : }}
Calcul de la variance :
V
(
X
)
=
∫
−
1
1
(
(
x
−
0
)
2
×
(
−
3
4
x
2
+
3
4
)
)
d
x
V\left(X\right)=\int _{-1}^{1}\left(\left(x-0\right)^{2} \times \left(-\frac{3}{4} x^{2} +\frac{3}{4} \right)\right) dx
V
(
X
)
=
∫
−
1
1
(
(
x
−
0
)
2
×
(
−
4
3
x
2
+
4
3
)
)
d
x
V
(
X
)
=
∫
−
1
1
(
x
2
×
(
−
3
4
x
2
+
3
4
)
)
d
x
V\left(X\right)=\int _{-1}^{1}\left(x^{2} \times \left(-\frac{3}{4} x^{2} +\frac{3}{4} \right)\right) dx
V
(
X
)
=
∫
−
1
1
(
x
2
×
(
−
4
3
x
2
+
4
3
)
)
d
x
V
(
X
)
=
∫
−
1
1
(
−
3
4
x
4
+
3
4
x
2
)
d
x
V\left(X\right)=\int _{-1}^{1}\left(-\frac{3}{4} x^{4} +\frac{3}{4} x^{2} \right) dx
V
(
X
)
=
∫
−
1
1
(
−
4
3
x
4
+
4
3
x
2
)
d
x
V
(
X
)
=
[
−
3
4
×
1
5
x
5
+
3
4
×
1
3
x
3
]
−
1
1
V\left(X\right)=\left[-\frac{3}{4} \times \frac{1}{5} x^{5} +\frac{3}{4} \times \frac{1}{3} x^{3} \right]_{-1}^{1}
V
(
X
)
=
[
−
4
3
×
5
1
x
5
+
4
3
×
3
1
x
3
]
−
1
1
V
(
X
)
=
[
−
3
20
x
5
+
1
4
x
3
]
−
1
1
V\left(X\right)=\left[-\frac{3}{20} x^{5} +\frac{1}{4} x^{3} \right]_{-1}^{1}
V
(
X
)
=
[
−
20
3
x
5
+
4
1
x
3
]
−
1
1
V
(
X
)
=
(
−
3
20
×
1
5
+
1
4
×
1
3
)
−
(
−
3
20
×
(
−
1
)
5
+
1
4
×
(
−
1
)
3
)
V\left(X\right)=\left(-\frac{3}{20} \times 1^{5} +\frac{1}{4} \times 1^{3} \right)-\left(-\frac{3}{20} \times \left(-1\right)^{5} +\frac{1}{4} \times \left(-1\right)^{3} \right)
V
(
X
)
=
(
−
20
3
×
1
5
+
4
1
×
1
3
)
−
(
−
20
3
×
(
−
1
)
5
+
4
1
×
(
−
1
)
3
)
V
(
X
)
=
1
10
−
(
−
1
10
)
V\left(X\right)=\frac{1}{10} -\left(-\frac{1}{10} \right)
V
(
X
)
=
10
1
−
(
−
10
1
)
V
(
X
)
=
1
10
+
1
10
V\left(X\right)=\frac{1}{10} +\frac{1}{10}
V
(
X
)
=
10
1
+
10
1
V
(
X
)
=
2
10
V\left(X\right)=\frac{2}{10}
V
(
X
)
=
10
2
Ainsi :
V
(
X
)
=
1
5
V\left(X\right)=\frac{1}{5}
V
(
X
)
=
5
1