Lois de probabilités à densité

Calculer les probabilités dans le cas d'une loi uniforme sur [a;b]\left[a;b\right] - Exercice 8

7 min
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Question 1
Un Uber effectue la même course de Laval Centre vers l'Aquabulle. Il y revient toutes les 1515 minutes. Un voyageur ignore les horaires et arrive au point de départ Laval Centre.

Quelle est la probabilité d’attendre le Uber entre 22 et 44 minutes ?

Correction
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors la fonction de densité de probabilité de la loi uniforme est donnée par : f(x)=1b−af\left(x\right)=\frac{1}{b-a}
La fonction de densité de probabilité de la loi uniforme sur [0;15]\left[0;15\right] est f(x)=115−0=115f\left(x\right)=\frac{1}{15-0} =\frac{1}{15}
On sait que : P(2≤X≤4)P\left(2\le X\le 4\right) .
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors : P(c≤X≤d)=d−cb−aP\left(c\le X\le d\right)=\frac{d-c}{b-a}
Ainsi :
P(2≤X≤4)=4−215−0P\left(2\le X\le 4\right)=\frac{4-2}{15-0}
P(2≤X≤4)=215P\left(2\le X\le 4\right)=\frac{2}{15}
Question 2

Quelle est la probabilité d’attendre le Uber plus de 55 minutes ?

Correction
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors la fonction de densité de probabilité de la loi uniforme est donnée par : f(x)=1b−af\left(x\right)=\frac{1}{b-a}
La fonction de densité de probabilité de la loi uniforme sur [0;15]\left[0;15\right] est f(x)=115−0=115f\left(x\right)=\frac{1}{15-0} =\frac{1}{15}
On sait que : P(X≥5)=P(5≤X≤15)P\left(X\ge 5\right) = P\left(5\le X\le 15\right) .
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors : P(c≤X≤d)=d−cb−aP\left(c\le X\le d\right)=\frac{d-c}{b-a}
Ainsi :
P(5≤X≤15)=15−515−0P\left(5\le X\le 15\right)=\frac{15-5}{15-0}
P(5≤X≤15)=1015=23P\left(5\le X\le 15\right)=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}
Question 3

Quelle est la probabilité d’attendre le Uber moins de 1111 minutes?

Correction
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors la fonction de densité de probabilité de la loi uniforme est donnée par : f(x)=1b−af\left(x\right)=\frac{1}{b-a}
La fonction de densité de probabilité de la loi uniforme sur [0;15]\left[0;15\right] est f(x)=115−0=115f\left(x\right)=\frac{1}{15-0} =\frac{1}{15}
On sait que : P(X≤11)=P(0≤X≤11)P\left(X\le 11\right) = P\left(0\le X\le 11\right) .
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors : P(c≤X≤d)=d−cb−aP\left(c\le X\le d\right)=\frac{d-c}{b-a}
Ainsi :
P(0≤X≤11)=11−015−0P\left(0\le X\le 11\right)=\frac{11-0}{15-0}
P(0≤X≤11)=1115P\left(0\le X\le 11\right)=\frac{11}{15}