Lois de probabilités à densité

Calculer les probabilités dans le cas d'une loi uniforme sur [a;b]\left[a;b\right] - Exercice 7

5 min
10
Question 1

On choisit un réel au hasard dans l'intervalle [3;23]\left[3;23\right]. Quelle est la probabilité que ce réel soit supérieur à 1111 ?

Correction
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors la fonction de densité de probabilité de la loi uniforme est donnée par : f(x)=1b−af\left(x\right)=\frac{1}{b-a}
La fonction de densité de probabilité de la loi uniforme sur [3;23]\left[3;23\right] est f(x)=123−3=120f\left(x\right)=\frac{1}{23-3} =\frac{1}{20}
On sait que : P(X≥11)=P(11≤X≤23)P\left( X\ge 11\right)=P\left(11\le X\le 23\right) .
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors : P(c≤X≤d)=d−cb−aP\left(c\le X\le d\right)=\frac{d-c}{b-a}
Ainsi :
P(11≤X≤23)=23−1123−3P\left(11\le X\le 23\right)=\frac{23-11}{23-3}
P(11≤X≤23)=1220=35P\left(11\le X\le 23\right)=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}
Question 2

On choisit un réel au hasard dans l'intervalle [3;23]\left[3;23\right]. Quelle est la probabilité que ce réel soit égale à π\pi ?

Correction
Dans un premier temps, on vérifie bien que π∈[3;23]\pi \in \left[3;23\right].
Nous voulons calculer P(X=π)P\left( X= \pi\right)
De manière générale, avec les lois continues et donc en particulier avec la loi uniforme , on a :
P(X=α)=0P\left(X=\alpha\right)=0
Il en résulte donc que :
P(X=π)=0P\left( X= \pi\right)=0