Lois de probabilités à densité

Calculer les probabilités dans le cas d'une loi uniforme sur [a;b]\left[a;b\right] - Exercice 6

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Question 1
Le temps d’attente au guichet de la billetterie du PSG, exprimé en minutes, peut être modélisé par une variable aléatoire TT qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [1;35]\left[1;35\right].

Quelle est la probabilité d’attendre plus de quinze minutes?

Correction
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors la fonction de densité de probabilité de la loi uniforme est donnée par : f(x)=1b−af\left(x\right)=\frac{1}{b-a}
La fonction de densité de probabilité de la loi uniforme sur [1;35]\left[1;35\right] est f(x)=160−0=160f\left(x\right)=\frac{1}{60-0} =\frac{1}{60} .
De plus, ici on cherche à calculer P(X≥15)P\left( X\ge 15\right) que l'on peut écrire P(15≤X≤35)P\left(15\le X\le 35\right)
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors : P(c≤X≤d)=d−cb−aP\left(c\le X\le d\right)=\frac{d-c}{b-a}
Ainsi :
P(15≤X≤35)=35−1535−1P\left(15\le X\le 35\right)=\frac{35-15}{35-1}
P(15≤X≤35)=2034=1017P\left(15\le X\le 35\right)=\frac{20}{34}=\frac{10}{17}

Question 2

Préciser le temps d’attente moyen.

Correction

Si XX suit la loi uniforme sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors son espérance mathématique vaut E(X)=a+b2E\left(X\right)=\frac{a+b}{2}
Il en résulte que :
E(X)=1+352=18E\left(X\right)=\frac{1+35}{2} =18

Le temps d’attente moyen au guichet du PSG est de 1818 minutes.