Lois de probabilités à densité

Calculer les probabilités dans le cas d'une loi uniforme sur [a;b]\left[a;b\right] - Exercice 5

10 min
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Question 1
Dans un guichet à la poste , le temps d'attente XX, exprimé en minutes, suit la loi uniforme sur l'intervalle [1;12]\left[1;12\right].

Déterminer la fonction de densité de probabilité ff de la loi de XX.

Correction
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors la fonction de densité de probabilité de la loi uniforme est donnée par : f(x)=1b−af\left(x\right)=\frac{1}{b-a}
La variable aléatoire XX suit la loi uniforme sur l'intervalle [1;12]\left[1;12\right].
Donc la fonction de densité est la fonction constante ff définie sur [1;12]\left[1;12\right] par f(x)=112−1=111f\left(x\right)=\frac{1}{12-1} =\frac{1}{11}
La fonction de densité ff de la loi uniforme sur l'intervalle [1;12]\left[1;12\right] est définie par f(x)=111f\left(x\right)=\frac{1}{11}
Question 2

Quelle est la probabilité que le temps d'attente soit compris entre quatre et six minutes ?

Correction
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors P(c≤X≤d)=d−cb−aP\left(c\le X\le d\right)=\frac{d-c}{b-a}
P(4≤X≤6)=6−412−1P\left(4\le X\le 6\right)=\frac{6-4}{12-1}
P(4≤X≤6)=211P\left(4\le X\le 6\right)=\frac{2}{11}

La probabilité que le temps d'attente soit compris entre quatre et six minutes est de 211\frac{2}{11} .
Question 3

Quelle est la probabilité qu'un client attende plus de neuf minutes ?

Correction
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors P(c≤X≤d)=d−cb−aP\left(c\le X\le d\right)=\frac{d-c}{b-a}
P(X≥9)=P(9≤X≤12)P\left(X\ge 9\right)=P\left(9\le X\le 12\right)
P(X≥9)=12−912−1P\left(X\ge 9\right)=\frac{12-9}{12-1}
Ainsi :
P(X≥9)=311P\left(X\ge 9\right)=\frac{3}{11}

La probabilité qu'un client attende plus de neuf minutes est de 311\frac{3}{11} .
Question 4

Préciser le temps d'attente moyen.

Correction
Si XX suit la loi uniforme sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors son espérance mathématique vaut : E(X)=a+b2E\left(X\right)=\frac{a+b}{2}
Le temps d'attente moyen est l'espérance mathématique de loi uniforme sur[1;12]\left[1;12\right].
Il en résulte que :
E(X)=1+122=6,5E\left(X\right)=\frac{1+12}{2} =6,5

Le temps d'attente moyen est de 66 minutes et 3030 secondes.