Lois de probabilités à densité

Calculer les probabilités dans le cas d'une loi uniforme sur [a;b]\left[a;b\right] - Exercice 4

15 min
30
Question 1
Roméo et Juliette se téléphonent régulièrement. La durée d’une communication suit la loi uniforme sur l’intervalle [0;60]\left[0;60\right]

Quelle est la probabilité que la communication n’excède pas 2020 minutes ?

Correction
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors la fonction de densité de probabilité de la loi uniforme est donnée par : f(x)=1b−af\left(x\right)=\frac{1}{b-a}
La fonction de densité de probabilité de la loi uniforme sur [0;60]\left[0;60\right] est f(x)=160−0=160f\left(x\right)=\frac{1}{60-0} =\frac{1}{60} .
De plus, ici on cherche à calculer P(X≤20)P\left( X\le 20\right) que l'on peut écrire P(0≤X≤20)P\left(0\le X\le 20\right)
P(0≤X≤20)=∫020f(x)dxP\left(0\le X\le 20\right)=\int _{0}^{20}f\left(x\right)dx équivaut successivement à
P(0≤X≤20)=∫020160dxP\left(0\le X\le 20\right)=\int _{0}^{20}\frac{1}{60} dx
P(0≤X≤20)=[160x]020P\left(0\le X\le 20\right)=\left[\frac{1}{60} x\right]_{0}^{20}
P(0≤X≤20)=(160×20)−(160×0)P\left(0\le X\le 20\right)=\left(\frac{1}{60} \times 20\right)-\left(\frac{1}{60} \times 0\right)
Ainsi :
P(0≤X≤20)=13P\left(0\le X\le 20\right)=\frac{1}{3}

Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors : P(c≤X≤d)=d−cb−aP\left(c\le X\le d\right)=\frac{d-c}{b-a} .
Cette formule permet de calculer rapidement les probabilités issues d'une loi uniforme. Voyez avec votre prof s'il la valide en DS. Vous aurez ainsi , ci-dessus le corrigé détaillé de la question et ci-dessous le corrigé sans passer par le calcul de l'intégrale. A vous de choisir :)

On a :
P(0≤X≤20)=20−060−0P\left(0\le X\le 20\right)=\frac{20-0}{60-0}
P(0≤X≤20)=13P\left(0\le X\le 20\right)=\frac{1}{3}
Question 2

Sachant qu’une communication dure depuis 3030 minutes, quelle est la probabilité qu’elle n’excède pas 4545 minutes ?

Correction
P(X≥30)(X≤45)=P((X≥30)∩(X≤45))P(X≥30)P_{\left(X\ge 30 \right)} \left(X\le 45 \right)=\frac{P\left(\left(X\ge 30 \right)\cap \left(X\le 45 \right)\right)}{P\left(X\ge 30 \right)}
P(X≥30)(X≤45)=P(30≤X≤45)P(X≥30)P_{\left(X\ge 30 \right)} \left(X\le 45 \right)=\frac{P\left(30 \le X\le 45 \right)}{P\left(X\ge 30 \right)}
P(X≥30)(X≤45)=P(30≤X≤45)P(30≤X≤60)P_{\left(X\ge 30 \right)} \left(X\le 45 \right)=\frac{P\left(30 \le X\le 45 \right)}{P\left(30 \le X\le 60\right)}
La fonction de densité de probabilité de la loi uniforme sur [0;60]\left[0;60\right] est f(x)=160−0=160f\left(x\right)=\frac{1}{60-0} =\frac{1}{60}.
P(X≥30)(X≤45)=∫3045f(x)dx∫3060f(x)dxP_{\left(X\ge 30 \right)} \left(X\le 45 \right)=\frac{\int _{30 }^{45 }f\left(x\right)dx }{\int _{30}^{60}f\left(x\right)dx }
P(X≥30)(X≤45)=[160x]3045[160x]3060P_{\left(X\ge 30 \right)} \left(X\le 45 \right)=\frac{\left[\frac{1}{60} x\right]_{30 }^{45 } }{\left[\frac{1}{60} x\right]_{30 }^{60} }
P(X≥30)(X≤45)=(4560−3060)(6060−3060)P_{\left(X\ge 30 \right)} \left(X\le 45 \right)=\frac{\left(\frac{45}{60} -\frac{30}{60} \right)}{\left(\frac{60}{60}-\frac{30}{60} \right)}
P(X≥30)(X≤45)=12P_{\left(X\ge 30 \right)} \left(X\le 45 \right)=\frac{1}{2}
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors : P(c≤X≤d)=d−cb−aP\left(c\le X\le d\right)=\frac{d-c}{b-a} .
Cette formule permet de calculer rapidement les probabilités issues d'une loi uniforme. Voyez avec votre prof s'il la valide en DS. Vous aurez ainsi , ci-dessus le corrigé détaillé de la question et ci-dessous le corrigé sans passer par le calcul de l'intégrale. A vous de choisir :)

On sait que :
P(X≥30)(X≤45)=P(30≤X≤45)P(30≤X≤60)P_{\left(X\ge 30 \right)} \left(X\le 45 \right)=\frac{P\left(30 \le X\le 45 \right)}{P\left(30 \le X\le 60\right)}
Ainsi :
P(X≥30)(X≤45)=(45−3060−0)(60−3060−0)P_{\left(X\ge 30 \right)} \left(X\le 45 \right)=\frac{\left(\frac{45-30}{60-0} \right)}{\left(\frac{60-30}{60-0} \right)}
P(X≥30)(X≤45)=12P_{\left(X\ge 30 \right)} \left(X\le 45 \right)=\frac{1}{2}
Question 3

Calculer la durée moyenne d’une communication.

Correction

Si XX suit la loi uniforme sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors son espérance mathématique vaut E(X)=a+b2E\left(X\right)=\frac{a+b}{2}
Il en résulte que :
E(X)=0+602=30E\left(X\right)=\frac{0+60}{2} =30

La durée moyenne d’une communication est de 3030 minutes.