Lois de probabilités à densité

Calculer les probabilités dans le cas d'une loi uniforme sur [a;b]\left[a;b\right] - Exercice 3

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Un étudiant utilise un célèbre site de covoiturage pour relier Paris vers Versailles. Le conducteur sélectionné relie ses deux villes en un temps compris entre 3232 et 6565 minutes. On note XX la durée du trajet. On suppose que la durée exacte du trajet est une variable aléatoire uniformément répartie sur [32;65]\left[32;65\right]
Question 1

Quelle est la densité de probabilité de XX ?

Correction
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors la fonction de densité de probabilité de la loi uniforme est donnée par : f(x)=1b−af\left(x\right)=\frac{1}{b-a}
La fonction de densité de probabilité de la loi uniforme sur [32;65]\left[32;65\right] est f(x)=165−32=133f\left(x\right)=\frac{1}{65-32} =\frac{1}{33}
Question 2

Calculer la probabilité que le trajet dure moins de 4040 minutes.

Correction
P(32≤X≤40)=∫3240f(x)dxP\left(32\le X\le 40\right)=\int _{32}^{40}f\left(x\right)dx équivaut successivement à
P(32≤X≤40)=∫3240133dxP\left(32\le X\le 40\right)=\int _{32}^{40}\frac{1}{33} dx
P(32≤X≤40)=[133x]3240P\left(32\le X\le 40\right)=\left[\frac{1}{33} x\right]_{32}^{40}
P(32≤X≤40)=(133×40)−(133×32)P\left(32\le X\le 40\right)=\left(\frac{1}{33} \times 40\right)-\left(\frac{1}{33} \times 32\right)
Ainsi :
P(32≤X≤40)=833P\left(32\le X\le 40\right)=\frac{8}{33}
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors : P(c≤X≤d)=d−cb−aP\left(c\le X\le d\right)=\frac{d-c}{b-a} .
Cette formule permet de calculer rapidement les probabilités issues d'une loi uniforme. Voyez avec votre prof s'il la valide en DS. Vous aurez ainsi , ci-dessus le corrigé détaillé de la question et ci-dessous le corrigé sans passer par le calcul de l'intégrale. A vous de choisir :)
On a :
P(32≤X≤40)=40−3265−32P\left(32\le X\le 40\right)=\frac{40-32}{65-32}
P(32≤X≤40)=833P\left(32\le X\le 40\right)=\frac{8}{33}
Question 3

Le départ se fait à 2020h. L'étudiant souhaite allez au cinéma et il a rendez-vous à 2020h5555 pour le début de la séance.
Quelle est la probabilité qu'il rate le début de la séance ?

Correction
P(X≥55)=P(55≤X≤65)P\left(X\ge 55\right)=P\left(55\le X\le 65\right)
Ainsi :
P(55≤X≤65)=∫5565f(x)dxP\left(55\le X\le 65\right)=\int _{55}^{65}f\left(x\right)dx équivaut successivement à
P(55≤X≤65)=∫5565133dxP\left(55\le X\le 65\right)=\int _{55}^{65}\frac{1}{33} dx
P(55≤X≤65)=[133x]5565P\left(55\le X\le 65\right)=\left[\frac{1}{33} x\right]_{55}^{65}
P(55≤X≤65)=(133×65)−(133×55)P\left(55\le X\le 65\right)=\left(\frac{1}{33} \times 65\right)-\left(\frac{1}{33} \times 55\right)
Ainsi :
P(55≤X≤65)=1033P\left(55\le X\le 65\right)=\frac{10}{33}
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors : P(c≤X≤d)=d−cb−aP\left(c\le X\le d\right)=\frac{d-c}{b-a} .
Cette formule permet de calculer rapidement les probabilités issues d'une loi uniforme. Voyez avec votre prof s'il la valide en DS. Vous aurez ainsi , ci-dessus le corrigé détaillé de la question et ci-dessous le corrigé sans passer par le calcul de l'intégrale. A vous de choisir :)
On a :
P(55≤X≤65)=65−5565−32P\left(55\le X\le 65\right)=\frac{65-55}{65-32}
P(55≤X≤65)=1033P\left(55\le X\le 65\right)=\frac{10}{33}