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Calculer les probabilités dans le cas d'une loi uniforme sur [a;b]\left[a;b\right] - Exercice 2

7 min
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Un match de basket a une durée au plus égal à 22 heures.
On suppose que la durée exacte du match est une variable aléatoire uniformément répartie sur [0;2]\left[0;2\right]
Question 1

Quelle est la probabilité qu'un match dure entre 11h3030 et 11h4545 ?

Correction
  • Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors la fonction de densité de probabilité de la loi uniforme est donnée par : f(x)=1b−af\left(x\right)=\frac{1}{b-a}
  • Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[{\color{blue}{a}};{\color{red}{b}}\right] alors : P(c≤X≤d)=d−cb−aP\left({\color{green}{c}}\le X\le {\color{orange}{d}}\right)=\frac{{\color{orange}{d}}-{\color{green}{c}}}{{\color{red}{b}}-{\color{blue}{a}}}
    • La fonction de densité de probabilité de la loi uniforme sur [0;2]\left[0;2\right] est f(x)=12−0=12f\left(x\right)=\frac{1}{2-0} =\frac{1}{2}
    On ne va pas chercher la probabilité P(1,30≤X≤1,45)P\left(1,30\le X\le 1,45\right), cette écriture ici n'a pas de sens.

    On va indiquer 11h3030 et 11h4545 en heures.
    Ainsi : 11h et 3030 minutes correspond à 1,51,5h et 11h et 4545 minutes correspond à 1,751,75h.
    On va donc calculer :
    P(1,5≤X≤1,75)=1,75−1,52−0P\left({\color{green}{1,5}}\le X\le {\color{orange}{1,75}}\right)=\frac{{\color{orange}{1,75}}-{\color{green}{1,5}}}{{\color{red}{2}}-{\color{blue}{0}}}
    Ainsi :
    P(1,5≤X≤1,75)=18P\left(1,5\le X\le 1,75\right)=\frac{1}{8}
    Question 2

    Quel est le temps moyen d'un match.

    Correction

    Si XX suit la loi uniforme sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors son espérance mathématique vaut E(X)=a+b2E\left(X\right)=\frac{a+b}{2}
    Il en résulte que :
    E(X)=2+02=1E\left(X\right)=\frac{2+0}{2} =1

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