Lois de probabilités à densité

Calculer les probabilités dans le cas d'une loi uniforme sur [a;b]\left[a;b\right] - Exercice 1

12 min
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Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle [3;7]\left[3;7\right]
Question 1

Déterminer la probabilité suivante P(4≤X≤5)P\left(4\le X\le 5\right)

Correction
  • Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors la fonction de densité de probabilité de la loi uniforme est donnée par : f(x)=1b−af\left(x\right)=\frac{1}{b-a}
  • Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[{\color{blue}{a}};{\color{red}{b}}\right] alors : P(c≤X≤d)=d−cb−aP\left({\color{green}{c}}\le X\le {\color{orange}{d}}\right)=\frac{{\color{orange}{d}}-{\color{green}{c}}}{{\color{red}{b}}-{\color{blue}{a}}}
    • La fonction de densité de probabilité de la loi uniforme sur [3;7]\left[3;7\right] est f(x)=17−3=14f\left(x\right)=\frac{1}{7-3} =\frac{1}{4}
    On a :
    P(4≤X≤5)=5−47−3P\left({\color{green}{4}}\le X\le {\color{orange}{5}}\right)=\frac{{\color{orange}{5}}-{\color{green}{4}}}{{\color{red}{7}}-{\color{blue}{3}}}
    Ainsi :
    P(4≤X≤5)=14P\left(4\le X\le 5\right)=\frac{1}{4}
    Question 2

    Déterminer la probabilité suivante P(X≥6)P\left(X\ge 6\right)

    Correction
  • Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors la fonction de densité de probabilité de la loi uniforme est donnée par : f(x)=1b−af\left(x\right)=\frac{1}{b-a}
  • Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[{\color{blue}{a}};{\color{red}{b}}\right] alors : P(c≤X≤d)=d−cb−aP\left({\color{green}{c}}\le X\le {\color{orange}{d}}\right)=\frac{{\color{orange}{d}}-{\color{green}{c}}}{{\color{red}{b}}-{\color{blue}{a}}}
    • On a P(X≥6)=P(6≤X≤7)P\left(X\ge 6\right)=P\left(6\le X\le 7\right) car ff définie une loi à densité sur l'intervalle [3;7]\left[3;7\right]
    D'où :
    P(6≤X≤7)=7−67−3P\left({\color{green}{6}}\le X\le {\color{orange}{7}}\right)=\frac{{\color{orange}{7}}-{\color{green}{6}}}{{\color{red}{7}}-{\color{blue}{3}}}
    Ainsi :
    P(6≤X≤7)=14P\left(6\le X\le 7\right)=\frac{1}{4}
    Question 3

    Déterminer la probabilité suivante P(X≤92)P\left(X\le \frac{9}{2} \right)

    Correction
  • Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors la fonction de densité de probabilité de la loi uniforme est donnée par : f(x)=1b−af\left(x\right)=\frac{1}{b-a}
  • Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[{\color{blue}{a}};{\color{red}{b}}\right] alors : P(c≤X≤d)=d−cb−aP\left({\color{green}{c}}\le X\le {\color{orange}{d}}\right)=\frac{{\color{orange}{d}}-{\color{green}{c}}}{{\color{red}{b}}-{\color{blue}{a}}}
    • P(X≤92)=P(3≤X≤92)P\left(X\le \frac{9}{2} \right)=P\left(3\le X\le \frac{9}{2} \right)
    D'où :
    P(3≤X≤92)=92−37−3P\left({\color{green}{3}}\le X\le {\color{orange}{\frac{9}{2}}}\right)=\frac{{\color{orange}{\frac{9}{2}}}-{\color{green}{3}}}{{\color{red}{7}}-{\color{blue}{3}}}
    Ainsi :
    P(3≤X≤92)=38P\left(3\le X\le \frac{9}{2} \right)=\frac{3}{8}
    Question 4

    Déterminer la probabilité suivante P(X=4)P\left(X=4\right)

    Correction
    Soit α\alpha un réel. De manière générale, avec les lois continues et donc en particulier avec la loi uniforme , on a :
    P(X=α)=0P\left(X=\alpha\right)=0
    Ainsi :
    P(X=4)=0P\left(X=4\right)=0
    Question 5

    Calculer l'espérance de XX

    Correction

    Si XX suit la loi uniforme sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors son espérance mathématique vaut E(X)=a+b2E\left(X\right)=\frac{a+b}{2}
    Il en résulte que :
    E(X)=3+72=5E\left(X\right)=\frac{3+7}{2} =5