Dérivabilité des fonctions

Les dérivées composées : La forme unu^{n} - Exercice 1

15 min
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Deˊriveˊes avec les puissances .\red{\text{Dérivées avec les puissances .}}
Question 1
Dans cet exercice, on considère que la fonction étudiée est dérivable sur un intervalle II. On ne vous demande pas de déterminer II. Calculer la dérivée de la fonction ff dans chacun des cas.

f(x)=(3x+2)4f\left(x\right)=\left(3x+2\right)^{4}

Correction
  • (un)′=n×u′×un−1\left(u^{n} \right)^{'} =n\times u'\times u^{n-1}
    • On reconnaît ici unu^{n} où u(x)=3x+2u\left(x\right)=3x+2 et n=4n=4. Ainsi u′(x)=3u'\left(x\right)=3.
    Il en résulte que :
    f′(x)=4×3×(3x+2)4−1f'\left(x\right)=4\times 3\times \left(3x+2\right)^{4-1}
    f′(x)=4×3×(3x+2)3f'\left(x\right)=4\times 3\times \left(3x+2\right)^{3}
    Finalement :
    f′(x)=12(3x+2)3f'\left(x\right)=12\left(3x+2\right)^{3}
    Question 2

    f(x)=5(−2x+1)6f\left(x\right)=5\left(-2x+1\right)^{6}

    Correction
  • (un)′=n×u′×un−1\left(u^{n} \right)^{'} =n\times u'\times u^{n-1}
    • On reconnaît ici unu^{n} où u(x)=−2x+1u\left(x\right)=-2x+1 et n=6n=6. Ainsi u′(x)=−2u'\left(x\right)=-2.
    Il en résulte que :
    f′(x)=5×6×(−2)×(−2x+1)6−1f'\left(x\right)=5\times 6\times \left(-2\right)\times \left(-2x+1\right)^{6-1}
    f′(x)=5×6×(−2)×(−2x+1)5f'\left(x\right)=5\times 6\times \left(-2\right)\times \left(-2x+1\right)^{5}
    Finalement :
    f′(x)=−60(−2x+1)5f'\left(x\right)=-60\left(-2x+1\right)^{5}
    Question 3

    f(x)=(3x2+1)4f\left(x\right)=\left(3x^{2}+1\right)^{4}

    Correction
  • (un)′=n×u′×un−1\left(u^{n} \right)^{'} =n\times u'\times u^{n-1}
    • On reconnaît ici unu^{n} où u(x)=3x2+1u\left(x\right)=3x^{2}+1 et n=4n=4. Ainsi u′(x)=6xu'\left(x\right)=6x.
    Il en résulte que :
    f′(x)=4×6x×(3x2+1)4−1f'\left(x\right)=4\times 6x\times \left(3x^{2}+1\right)^{4-1}
    f′(x)=4×6x×(3x2+1)3f'\left(x\right)=4\times 6x\times \left(3x^{2}+1\right)^{3}
    Finalement :
    f′(x)=24x(3x2+1)3f'\left(x\right)=24x \left(3x^{2}+1\right)^{3}
    Question 4

    f(x)=(ex−5)2f\left(x\right)=\left(e^{x}-5\right)^{2}

    Correction
  • (un)′=n×u′×un−1\left(u^{n} \right)^{'} =n\times u'\times u^{n-1}
    • On reconnaît ici unu^{n} où u(x)=ex−5u\left(x\right)=e^{x}-5 et n=2n=2. Ainsi u′(x)=exu'\left(x\right)=e^{x}.
    Il en résulte que :
    f′(x)=2×ex×(ex−5)2−1f'\left(x\right)=2\times e^{x}\times \left(e^{x}-5\right)^{2-1}
    f′(x)=2×ex×(ex−5)1f'\left(x\right)=2\times e^{x}\times \left(e^{x}-5\right)^{1}
    f′(x)=2ex(ex−5)f'\left(x\right)=2e^{x}\left(e^{x}-5\right) . Nous pouvons ici développer l'expression :
    f′(x)=2ex×ex+2ex×(−5)f'\left(x\right)=2e^{x}\times e^{x} + 2e^{x}\times \left(-5\right)
    Finalement :
    f′(x)=2e2x−10exf'\left(x\right)=2e^{2x} -10e^{x}

    La forme factorisée f′(x)=2ex(ex−5)f'\left(x\right)=2e^{x}\left(e^{x}-5\right) est également une solution correcte.
    Question 5

    f(x)=3(2x2+5x+2)7f\left(x\right)=3\left(2x^{2}+5x+2\right)^{7}

    Correction
  • (un)′=n×u′×un−1\left(u^{n} \right)^{'} =n\times u'\times u^{n-1}
    • On reconnaît ici unu^{n} où u(x)=2x2+5x+2u\left(x\right)=2x^{2}+5x+2 et n=7n=7. Ainsi u′(x)=4x+5u'\left(x\right)=4x+5.
    Il en résulte que :
    f′(x)=3×7×(4x+5)×(2x2+5x+2)7−1f'\left(x\right)=3\times 7\times \left(4x+5\right)\times \left(2x^{2} +5x+2\right)^{7-1}
    f′(x)=3×7×(4x+5)×(2x2+5x+2)6f'\left(x\right)=3\times 7\times \left(4x+5\right)\times \left(2x^{2} +5x+2\right)^{6}
    f′(x)=21×(4x+5)×(2x2+5x+2)6f'\left(x\right)=21\times \left(4x+5\right)\times \left(2x^{2} +5x+2\right)^{6}
    Finalement :
    f′(x)=(84x+105)(2x2+5x+2)6f'\left(x\right)=\left(84x+105\right)\left(2x^{2} +5x+2\right)^{6}
    Question 6

    f(x)=(6x3−5x2+7)9f\left(x\right)=\left(6x^{3}-5x^{2}+7\right)^{9}

    Correction
  • (un)′=n×u′×un−1\left(u^{n} \right)^{'} =n\times u'\times u^{n-1}
    • On reconnaît ici unu^{n} où u(x)=6x3−5x2+7u\left(x\right)=6x^{3}-5x^{2}+7 et n=9n=9. Ainsi u′(x)=18x2−10xu'\left(x\right)=18x^{2}-10x.
    Il en résulte que :
    f′(x)=9×(18x2−10x)×(6x3−5x2+7)9−1f'\left(x\right)=9\times \left(18x^{2} -10x\right)\times \left(6x^{3} -5x^{2} +7\right)^{9-1}
    f′(x)=9×(18x2−10x)×(6x3−5x2+7)8f'\left(x\right)=9\times \left(18x^{2} -10x\right)\times \left(6x^{3} -5x^{2} +7\right)^{8}
    Finalement :
    f′(x)=(162x2−90x)×(6x3−5x2+7)8f'\left(x\right)=\left(162x^{2} -90x\right)\times \left(6x^{3} -5x^{2} +7\right)^{8}