Dérivabilité des fonctions

Les dérivées composées : La forme u\sqrt{u} - Exercice 1

15 min
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Deˊriveˊes avec la racine carreˊe .\red{\text{Dérivées avec la racine carrée .}}
Question 1
Dans cet exercice, on considère que la fonction étudiée est dérivable sur un intervalle II. On ne vous demande pas de déterminer II. Calculer la dérivée de la fonction ff dans chacun des cas.

f(x)=9x−1f\left(x\right)=\sqrt{9x-1}

Correction
  • (u)′=u′2u\left(\sqrt{u} \right)^{'} =\frac{u'}{2\sqrt{u} }
    • On reconnaît ici u\sqrt{u} où u(x)=9x−1u\left(x\right)=9x-1. Ainsi u′(x)=9u'\left(x\right)=9.
    Il en résulte que :
    f′(x)=929x−1f'\left(x\right)=\frac{9}{2\sqrt{9x-1} }

    Question 2

    f(x)=−7x+3f\left(x\right)=\sqrt{-7x+3}

    Correction
  • (u)′=u′2u\left(\sqrt{u} \right)^{'} =\frac{u'}{2\sqrt{u} }
    • On reconnaît ici u\sqrt{u} où u(x)=−7x+3u\left(x\right)=-7x+3. Ainsi u′(x)=−7u'\left(x\right)=-7.
    Il en résulte que :
    f′(x)=−72−7x+3f'\left(x\right)=\frac{-7}{2\sqrt{-7x+3} }
    Question 3

    f(x)=3−x+9f\left(x\right)=3\sqrt{-x+9}

    Correction
  • (u)′=u′2u\left(\sqrt{u} \right)^{'} =\frac{u'}{2\sqrt{u} }
    • On reconnaît ici u\sqrt{u} où u(x)=−x+1u\left(x\right)=-x+1. Ainsi u′(x)=−1u'\left(x\right)=-1.
    Il en résulte que :
    f′(x)=3×−12−x+9f'\left(x\right)=3\times\frac{-1}{2\sqrt{-x+9} }
    Finalement :
    f′(x)=−32−x+9f'\left(x\right)=\frac{-3}{2\sqrt{-x+9} }
    Question 4

    f(x)=53x+2f\left(x\right)=5\sqrt{3x+2}

    Correction
  • (u)′=u′2u\left(\sqrt{u} \right)^{'} =\frac{u'}{2\sqrt{u} }
    • On reconnaît ici u\sqrt{u} où u(x)=3x+2u\left(x\right)=3x+2. Ainsi u′(x)=3u'\left(x\right)=3.
    Il en résulte que :
    f′(x)=5×323x+2f'\left(x\right)=5\times\frac{3}{2\sqrt{3x+2} }
    Finalement :
    f′(x)=1523x+2f'\left(x\right)=\frac{15}{2\sqrt{3x+2} }
    Question 5

    f(x)=7x2+3x−1f\left(x\right)=\sqrt{7x^{2}+3x-1}

    Correction
  • (u)′=u′2u\left(\sqrt{u} \right)^{'} =\frac{u'}{2\sqrt{u} }
    • On reconnaît ici u\sqrt{u} où u(x)=7x2+3x−1u\left(x\right)=7x^{2}+3x-1. Ainsi u′(x)=14x+3u'\left(x\right)=14x+3.
    Il en résulte que :
    f′(x)=14x+327x2+3x−1f'\left(x\right)=\frac{14x+3}{2\sqrt{7x^{2}+3x-1} }
    Question 6

    f(x)=3−2x2+5x−9f\left(x\right)=3\sqrt{-2x^{2}+5x-9}

    Correction
  • (u)′=u′2u\left(\sqrt{u} \right)^{'} =\frac{u'}{2\sqrt{u} }
    • On reconnaît ici u\sqrt{u} où u(x)=−2x2+5x−9u\left(x\right)=-2x^{2}+5x-9. Ainsi u′(x)=−4x+5u'\left(x\right)=-4x+5.
    Il en résulte que :
    f′(x)=3×−4x+52−2x2+5x−9f'\left(x\right)=3\times\frac{-4x+5}{2\sqrt{-2x^{2}+5x-9} }

    Finalement :
    f′(x)=−12x+152−2x2+5x−9f'\left(x\right)=\frac{-12x+15}{2\sqrt{-2x^{2}+5x-9} }