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Dérivabilité des fonctions
Les dérivées composées : La forme
u
\sqrt{u}
u
- Exercice 1
15 min
30
D
e
ˊ
riv
e
ˊ
es avec la racine carr
e
ˊ
e .
\red{\text{Dérivées avec la racine carrée .}}
D
e
ˊ
riv
e
ˊ
es avec la racine carr
e
ˊ
e .
Dans cet exercice, on considère que la fonction étudiée est dérivable sur un intervalle
I
I
I
. On ne vous demande pas de déterminer
I
I
I
. Calculer la dérivée de la fonction
f
f
f
dans chacun des cas.
Question 1
f
(
x
)
=
9
x
−
1
f\left(x\right)=\sqrt{9x-1}
f
(
x
)
=
9
x
−
1
Correction
(
u
)
′
=
u
′
2
u
\left(\sqrt{u} \right)^{'} =\frac{u'}{2\sqrt{u} }
(
u
)
′
=
2
u
u
′
On reconnaît ici
u
\sqrt{u}
u
où
u
(
x
)
=
9
x
−
1
u\left(x\right)=9x-1
u
(
x
)
=
9
x
−
1
. Ainsi
u
′
(
x
)
=
9
u'\left(x\right)=9
u
′
(
x
)
=
9
.
Il en résulte que :
f
′
(
x
)
=
9
2
9
x
−
1
f'\left(x\right)=\frac{9}{2\sqrt{9x-1} }
f
′
(
x
)
=
2
9
x
−
1
9
Question 2
f
(
x
)
=
−
7
x
+
3
f\left(x\right)=\sqrt{-7x+3}
f
(
x
)
=
−
7
x
+
3
Correction
(
u
)
′
=
u
′
2
u
\left(\sqrt{u} \right)^{'} =\frac{u'}{2\sqrt{u} }
(
u
)
′
=
2
u
u
′
On reconnaît ici
u
\sqrt{u}
u
où
u
(
x
)
=
−
7
x
+
3
u\left(x\right)=-7x+3
u
(
x
)
=
−
7
x
+
3
. Ainsi
u
′
(
x
)
=
−
7
u'\left(x\right)=-7
u
′
(
x
)
=
−
7
.
Il en résulte que :
f
′
(
x
)
=
−
7
2
−
7
x
+
3
f'\left(x\right)=\frac{-7}{2\sqrt{-7x+3} }
f
′
(
x
)
=
2
−
7
x
+
3
−
7
Question 3
f
(
x
)
=
3
−
x
+
9
f\left(x\right)=3\sqrt{-x+9}
f
(
x
)
=
3
−
x
+
9
Correction
(
u
)
′
=
u
′
2
u
\left(\sqrt{u} \right)^{'} =\frac{u'}{2\sqrt{u} }
(
u
)
′
=
2
u
u
′
On reconnaît ici
u
\sqrt{u}
u
où
u
(
x
)
=
−
x
+
9
u\left(x\right)=-x+9
u
(
x
)
=
−
x
+
9
. Ainsi
u
′
(
x
)
=
−
1
u'\left(x\right)=-1
u
′
(
x
)
=
−
1
.
Il en résulte que :
f
′
(
x
)
=
3
×
−
1
2
−
x
+
9
f'\left(x\right)=3\times\frac{-1}{2\sqrt{-x+9} }
f
′
(
x
)
=
3
×
2
−
x
+
9
−
1
Finalement :
f
′
(
x
)
=
−
3
2
−
x
+
9
f'\left(x\right)=\frac{-3}{2\sqrt{-x+9} }
f
′
(
x
)
=
2
−
x
+
9
−
3
Question 4
f
(
x
)
=
5
3
x
+
2
f\left(x\right)=5\sqrt{3x+2}
f
(
x
)
=
5
3
x
+
2
Correction
(
u
)
′
=
u
′
2
u
\left(\sqrt{u} \right)^{'} =\frac{u'}{2\sqrt{u} }
(
u
)
′
=
2
u
u
′
On reconnaît ici
u
\sqrt{u}
u
où
u
(
x
)
=
3
x
+
2
u\left(x\right)=3x+2
u
(
x
)
=
3
x
+
2
. Ainsi
u
′
(
x
)
=
3
u'\left(x\right)=3
u
′
(
x
)
=
3
.
Il en résulte que :
f
′
(
x
)
=
5
×
3
2
3
x
+
2
f'\left(x\right)=5\times\frac{3}{2\sqrt{3x+2} }
f
′
(
x
)
=
5
×
2
3
x
+
2
3
Finalement :
f
′
(
x
)
=
15
2
3
x
+
2
f'\left(x\right)=\frac{15}{2\sqrt{3x+2} }
f
′
(
x
)
=
2
3
x
+
2
15
Question 5
f
(
x
)
=
7
x
2
+
3
x
−
1
f\left(x\right)=\sqrt{7x^{2}+3x-1}
f
(
x
)
=
7
x
2
+
3
x
−
1
Correction
(
u
)
′
=
u
′
2
u
\left(\sqrt{u} \right)^{'} =\frac{u'}{2\sqrt{u} }
(
u
)
′
=
2
u
u
′
On reconnaît ici
u
\sqrt{u}
u
où
u
(
x
)
=
7
x
2
+
3
x
−
1
u\left(x\right)=7x^{2}+3x-1
u
(
x
)
=
7
x
2
+
3
x
−
1
. Ainsi
u
′
(
x
)
=
14
x
+
3
u'\left(x\right)=14x+3
u
′
(
x
)
=
14
x
+
3
.
Il en résulte que :
f
′
(
x
)
=
14
x
+
3
2
7
x
2
+
3
x
−
1
f'\left(x\right)=\frac{14x+3}{2\sqrt{7x^{2}+3x-1} }
f
′
(
x
)
=
2
7
x
2
+
3
x
−
1
14
x
+
3
Question 6
f
(
x
)
=
3
−
2
x
2
+
5
x
−
9
f\left(x\right)=3\sqrt{-2x^{2}+5x-9}
f
(
x
)
=
3
−
2
x
2
+
5
x
−
9
Correction
(
u
)
′
=
u
′
2
u
\left(\sqrt{u} \right)^{'} =\frac{u'}{2\sqrt{u} }
(
u
)
′
=
2
u
u
′
On reconnaît ici
u
\sqrt{u}
u
où
u
(
x
)
=
−
2
x
2
+
5
x
−
9
u\left(x\right)=-2x^{2}+5x-9
u
(
x
)
=
−
2
x
2
+
5
x
−
9
. Ainsi
u
′
(
x
)
=
−
4
x
+
5
u'\left(x\right)=-4x+5
u
′
(
x
)
=
−
4
x
+
5
.
Il en résulte que :
f
′
(
x
)
=
3
×
−
4
x
+
5
2
−
2
x
2
+
5
x
−
9
f'\left(x\right)=3\times\frac{-4x+5}{2\sqrt{-2x^{2}+5x-9} }
f
′
(
x
)
=
3
×
2
−
2
x
2
+
5
x
−
9
−
4
x
+
5
Finalement :
f
′
(
x
)
=
−
12
x
+
15
2
−
2
x
2
+
5
x
−
9
f'\left(x\right)=\frac{-12x+15}{2\sqrt{-2x^{2}+5x-9} }
f
′
(
x
)
=
2
−
2
x
2
+
5
x
−
9
−
12
x
+
15