Dérivabilité des fonctions

Les dérivées composées : La forme eue^{u} - Exercice 2

20 min
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Dans cet exercice, on considère que la fonction étudiée est dérivable sur un intervalle II. On ne vous demande pas de déterminer II. Calculer la dérivée de la fonction ff dans chacun des cas.
Question 1

f(x)=xe−xf\left(x\right)=xe^{-x}

Correction
(eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
Ici on reconnaît la forme : (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=xu\left(x\right)=x et v(x)=e−xv\left(x\right)=e^{-x} .
Ainsi : u′(x)=1u'\left(x\right)=1 et v′(x)=−e−xv'\left(x\right)=-e^{-x} .
Il vient alors que :
f′(x)=1×e−x+x×(−e−x)f'\left(x\right)=1\times e^{-x} +x\times \left(-e^{-x} \right)
f′(x)=e−x−xe−xf'\left(x\right)={\color{blue}{e^{-x}}} -x{\color{blue}{e^{-x}}}
f′(x)=e−x(1−x)f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{-x}}} \left(1-x\right)
Pensez à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
Question 2

f(x)=5xe3x+1f\left(x\right)=5xe^{3x+1}

Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=5xu\left(x\right)=5x et v(x)=e3x+1v\left(x\right)=e^{3x+1} .
    Ainsi u′(x)=5u'\left(x\right)=5 et v′(x)=3e3x+1v'\left(x\right)=3e^{3x+1} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=5e3x+1+5x×3e3x+1f'\left(x\right)=5e^{3x+1} +5x\times 3e^{3x+1}
    f′(x)=5e3x+1+15xe3x+1f'\left(x\right)=5{\color{blue}{e^{3x+1}}} +15x{\color{blue}{e^{3x+1}}}
    Ainsi :
    f′(x)=e3x+1(5+15x)f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{3x+1}}} \left(5+15x\right)
    .
    Pensez à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
    Question 3

    f(x)=(3x+2)e2x+5f\left(x\right)=\left(3x+2\right)e^{2x+5}

    Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=3x+2u\left(x\right)=3x+2 et v(x)=e2x+5v\left(x\right)=e^{2x+5} .
    Ainsi u′(x)=3u'\left(x\right)=3 et v′(x)=2e2x+5v'\left(x\right)=2e^{2x+5} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=3e2x+5+(3x+2)×2e2x+5f'\left(x\right)=3e^{2x+5} +\left(3x+2\right)\times 2e^{2x+5}
    f′(x)=3e2x+5+3x×2e2x+5+2×2e2x+5f'\left(x\right)=3e^{2x+5} +3x\times 2e^{2x+5} +2\times 2e^{2x+5}
    f′(x)=3e2x+5+6xe2x+5+4e2x+5f'\left(x\right)=3e^{2x+5} +6xe^{2x+5} +4e^{2x+5}
    f′(x)=6xe2x+5+7e2x+5f'\left(x\right)=6x{\color{blue}{e^{2x+5}}} +7{\color{blue}{e^{2x+5}}}
    f′(x)=e2x+5(6x+7)f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{2x+5}}} \left(6x+7\right)
    Pensez à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
    Question 4

    f(x)=(4x+1)e−6x+8f\left(x\right)=\left(4x+1\right)e^{-6x+8}

    Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=4x+1u\left(x\right)=4x+1 et v(x)=e−6x+8v\left(x\right)=e^{-6x+8}.
    Ainsi u′(x)=4u'\left(x\right)=4 et v′(x)=−6e−6x+8v'\left(x\right)=-6e^{-6x+8} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=4×e−6x+8+(4x+1)×(−6e−6x+8)f'\left(x\right)=4\times e^{-6x+8} +\left(4x+1\right)\times \left(-6e^{-6x+8} \right)
    f′(x)=4e−6x+8+4x×(−6e−6x+8)+1×(−6e−6x+8)f'\left(x\right)=4e^{-6x+8} +4x\times \left(-6e^{-6x+8} \right)+1\times \left(-6e^{-6x+8} \right)
    f′(x)=4e−6x+8−24xe−6x+8−6e−6x+8f'\left(x\right)=4e^{-6x+8} -24xe^{-6x+8} -6e^{-6x+8}
    f′(x)=−2e−6x+8−24xe−6x+8f'\left(x\right)=-2{\color{blue}{e^{-6x+8}}} -24x{\color{blue}{e^{-6x+8}}}
    f′(x)=e−6x+8(−2−24x)f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{-6x+8}}} \left(-2-24x\right)
    Pensez à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
    Question 5

    f(x)=x2e−xf\left(x\right)=x^{2} e^{-x}

    Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=x2u\left(x\right)=x^{2} et v(x)=e−xv\left(x\right)=e^{-x} .
    Ainsi u′(x)=2xu'\left(x\right)=2x et v′(x)=−e−xv'\left(x\right)=-e^{-x} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=2xe−x+x2×(−e−x)f'\left(x\right)=2xe^{-x} +x^{2} \times \left(-e^{-x} \right)
    f′(x)=2xe−x−x2e−xf'\left(x\right)=2x{\color{blue}{e^{-x}}} -x^{2} {\color{blue}{e^{-x}}}
    f′(x)=e−x(2x−x2)f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{-x}}} \left(2x-x^{2} \right)
    Pensez à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
    Question 6

    f(x)=e3x+5ex+xf\left(x\right)=\frac{e^{3x+5} }{e^{x} +x}

    Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=e3x+5u\left(x\right)=e^{3x+5} et v(x)=ex+xv\left(x\right)=e^{x} +x.
    Ainsi u′(x)=3e3x+5u'\left(x\right)=3e^{3x+5} et v′(x)=ex+1v'\left(x\right)=e^{x} +1.
    Il vient alors que :
    f′(x)=3e3x+5(ex+x)−e3x+5(ex+1)(ex+x)2f'\left(x\right)=\frac{3e^{3x+5} \left(e^{x} +x\right)-e^{3x+5} \left(e^{x} +1\right)}{\left(e^{x} +x\right)^{2} }
    f′(x)=3e3x+5×ex+3e3x+5×x−(e3x+5×ex+e3x+5)(ex+x)2f'\left(x\right)=\frac{3e^{3x+5} \times e^{x} +3e^{3x+5} \times x-\left(e^{3x+5} \times e^{x} +e^{3x+5} \right)}{\left(e^{x} +x\right)^{2} }
    f′(x)=3e3x+5+x+3xe3x+5−(e3x+5+x+e3x+5)(ex+x)2f'\left(x\right)=\frac{3e^{3x+5+x} +3xe^{3x+5} -\left(e^{3x+5+x} +e^{3x+5} \right)}{\left(e^{x} +x\right)^{2} }
    f′(x)=3e4x+5+3xe3x+5−(e4x+5+e3x+5)(ex+x)2f'\left(x\right)=\frac{3e^{4x+5} +3xe^{3x+5} -\left(e^{4x+5} +e^{3x+5} \right)}{\left(e^{x} +x\right)^{2} }
    f′(x)=3e4x+5+3xe3x+5−e4x+5−e3x+5(ex+x)2f'\left(x\right)=\frac{3e^{4x+5} +3xe^{3x+5} -e^{4x+5} -e^{3x+5} }{\left(e^{x} +x\right)^{2} }
    Finalement :
    f′(x)=2e4x+5+3xe3x+5−e3x+5(ex+x)2f'\left(x\right)=\frac{2e^{4x+5} +3xe^{3x+5} -e^{3x+5} }{\left(e^{x} +x\right)^{2} }