Dans cet exercice, on considère que la fonction étudiée est dérivable sur un intervalle I. On ne vous demande pas de déterminer I. Calculer la dérivée de la fonction f dans chacun des cas.
Question 1
f(x)=xe−x
Correction
(eu)′=u′eu
f est dérivable sur R. Ici on reconnaît la forme : (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=x et v(x)=e−x. Ainsi : u′(x)=1 et v′(x)=−e−x. Il vient alors que : f′(x)=1×e−x+x×(−e−x) f′(x)=e−x−xe−x
f′(x)=e−x(1−x)
Pensez à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
Question 2
f(x)=5xe3x+1
Correction
(eu)′=u′eu
f est dérivable sur R. Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=5x et v(x)=e3x+1. Ainsi u′(x)=5 et v′(x)=3e3x+1. Il vient alors que : f′(x)=5e3x+1+5x×3e3x+1 f′(x)=5e3x+1+15xe3x+1 Ainsi :
f′(x)=e3x+1(5+15x)
.
Pensez à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
Question 3
f(x)=(3x+2)e2x+5
Correction
(eu)′=u′eu
f est dérivable sur R. Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=3x+2 et v(x)=e2x+5. Ainsi u′(x)=3 et v′(x)=2e2x+5. Il vient alors que : f′(x)=3e2x+5+(3x+2)×2e2x+5 f′(x)=3e2x+5+3x×2e2x+5+2×2e2x+5 f′(x)=3e2x+5+6xe2x+5+4e2x+5 f′(x)=6xe2x+5+7e2x+5
f′(x)=e2x+5(6x+7)
Pensez à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
Question 4
f(x)=(4x+1)e−6x+8
Correction
(eu)′=u′eu
f est dérivable sur R. Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=4x+1 et v(x)=e−6x+8. Ainsi u′(x)=4 et v′(x)=−6e−6x+8. Il vient alors que : f′(x)=4×e−6x+8+(4x+1)×(−6e−6x+8) f′(x)=4e−6x+8+4x×(−6e−6x+8)+1×(−6e−6x+8) f′(x)=4e−6x+8−24xe−6x+8−6e−6x+8 f′(x)=−2e−6x+8−24xe−6x+8
f′(x)=e−6x+8(−2−24x)
Pensez à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
Question 5
f(x)=x2e−x
Correction
(eu)′=u′eu
f est dérivable sur R. Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′ avec u(x)=x2 et v(x)=e−x. Ainsi u′(x)=2x et v′(x)=−e−x. Il vient alors que : f′(x)=2xe−x+x2×(−e−x) f′(x)=2xe−x−x2e−x
f′(x)=e−x(2x−x2)
Pensez à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
Question 6
f(x)=ex+xe3x+5
Correction
(eu)′=u′eu
f est dérivable sur R. Ici on reconnaît la forme (vu)′=v2u′v−uv′ avec u(x)=e3x+5 et v(x)=ex+x. Ainsi u′(x)=3e3x+5 et v′(x)=ex+1. Il vient alors que : f′(x)=(ex+x)23e3x+5(ex+x)−e3x+5(ex+1) f′(x)=(ex+x)23e3x+5×ex+3e3x+5×x−(e3x+5×ex+e3x+5) f′(x)=(ex+x)23e3x+5+x+3xe3x+5−(e3x+5+x+e3x+5) f′(x)=(ex+x)23e4x+5+3xe3x+5−(e4x+5+e3x+5) f′(x)=(ex+x)23e4x+5+3xe3x+5−e4x+5−e3x+5 Finalement :
f′(x)=(ex+x)22e4x+5+3xe3x+5−e3x+5
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