Dérivabilité des fonctions

Les dérivées composées : La forme eue^{u} - Exercice 1

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Deˊriveˊes avec la fonction exponentielle .\red{\text{Dérivées avec la fonction exponentielle .}}
Question 1
Dans cet exercice, on considère que la fonction étudiée est dérivable sur un intervalle II. On ne vous demande pas de déterminer II. Calculer la dérivée de la fonction ff dans chacun des cas.

f(x)=e7x−3f\left(x\right)=e^{7x-3}

Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
    • Ici u(x)=7x−3u\left(x\right)=7x-3 et donc u′(x)=7u'\left(x\right)=7.
    D'où :
    f′(x)=7e7x−3f'\left(x\right)=7e^{7x-3}
    Question 2

    f(x)=e−4x+2f\left(x\right)=e^{-4x+2}

    Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
    • Ici u(x)=−4x+2u\left(x\right)=-4x+2 et donc u′(x)=−4u'\left(x\right)=-4.
    D'où :
    f′(x)=−4e−4x+2f'\left(x\right)=-4e^{-4x+2}
    Question 3

    f(x)=5e−xf\left(x\right)=5e^{-x}

    Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici u(x)=−xu\left(x\right)=-x et donc u′(x)=−1u'\left(x\right)=-1.
    D'où
    f′(x)=−5e−xf'\left(x\right)=-5e^{-x}
    Question 4

    f(x)=4e3x−9f\left(x\right)=4e^{3x-9}

    Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
    • Ici u(x)=3x−9u\left(x\right)=3x-9 et donc u′(x)=3u'\left(x\right)=3.
    D'où :
    f′(x)=4×3e3x−9f'\left(x\right)=4\times 3e^{3x-9}
    f′(x)=12e3x−9f'\left(x\right)=12e^{3x-9}
    Question 5

    f(x)=e2x2−5f\left(x\right)=e^{2x^{2}-5}

    Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
    • Ici u(x)=2x2−5u\left(x\right)=2x^{2}-5 et donc u′(x)=4xu'\left(x\right)=4x.
    D'où :
    f′(x)=4xe2x2−5f'\left(x\right)=4xe^{2x^{2}-5}
    Question 6

    f(x)=5ex2+x+1f\left(x\right)=5e^{x^{2} +x+1}

    Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici u(x)=x2+x+1u\left(x\right)=x^{2}+x+1 et donc u′(x)=2x+1u'\left(x\right)=2x+1.
    f′(x)=5(2x+1)ex2+x+1f'\left(x\right)=5\left(2x+1\right)e^{x^{2} +x+1}