Convexité

Exercices types : Lien entre la convexité et inégalités - Exercice 3

15 min
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Soit ff la fonction définie sur ];+[\left]-\infty;+\infty \right[ par f(x)=2xex+x+1f\left(x\right)=2xe^{-x} +x+1 .
Question 1

Etudiez la convexité de ff sur ];+[\left]-\infty;+\infty \right[ .

Correction
  • (eu)=ueu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
  • Soit f(x)=2xex+x+1f\left(x\right)=2xe^{-x} +x+1
    Ici on reconnaît la forme (uv+w)=uv+uv+w\left(uv+w\right)'=u'v+uv'+w' avec u(x)=2xu\left(x\right)=2x ; v(x)=exv\left(x\right)=e^{-x} et w(x)=x+1w\left(x\right)=x+1
    Ainsi : u(x)=2u'\left(x\right)=2 et v(x)=exv'\left(x\right)=-e^{-x} , enfin w(x)=1w'\left(x\right)=1
    Il vient alors que :
    f(x)=2×ex+2x×(ex)+1f'\left(x\right)=2\times e^{-x} +2x\times \left(-e^{-x} \right)+1
    f(x)=2ex2xex+1f'\left(x\right)=2e^{-x} -2xe^{-x} +1
    f(x)=(22x)ex+1f'\left(x\right)=\left(2-2x\right)e^{-x} +1
    Nous allons maintenant calculer ff''.
    Ici on reconnaît la forme (uv+w)=uv+uv+w\left(uv+w\right)'=u'v+uv'+w' avec u(x)=22xu\left(x\right)=2-2x ; v(x)=exv\left(x\right)=e^{-x} et w(x)=1w\left(x\right)=1
    Ainsi : u(x)=2u'\left(x\right)=-2 et v(x)=exv'\left(x\right)=-e^{-x} , enfin w(x)=0w'\left(x\right)=0
    Il vient alors que :
    f(x)=2ex+(22x)(ex)f''\left(x\right)=-2e^{-x} +\left(2-2x\right)\left(-e^{-x} \right)
    f(x)=2ex+2×(ex)+(2x)×(ex)f''\left(x\right)=-2e^{-x} +2\times \left(-e^{-x} \right)+\left(-2x\right)\times \left(-e^{-x} \right)
    f(x)=2ex2ex+2xexf''\left(x\right)=-2e^{-x} -2e^{-x} +2xe^{-x}
    f(x)=4ex+2xexf''\left(x\right)=-4e^{-x} +2xe^{-x}
    Finalement :
    f(x)=(4+2x)exf''\left(x\right)=\left(-4+2x\right)e^{-x}

    Pour tout réel xx, on a ex>0e^{-x} >0.
    4+2x02x4x42x2-4+2x\ge 0\Leftrightarrow 2x\ge 4\Leftrightarrow x\ge \frac{4}{2} \Leftrightarrow x\ge 2
    Cela signifie que l'on va mettre le signe ++ dans la ligne de 4+2x-4+2x lorsque xx sera supérieur ou égale à 22.
    • Lorsque f(x)0f''\left(x\right)\ge 0 sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors ff est convexe.
    • Lorsque f(x)0f''\left(x\right)\le 0 sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors ff est concave.
    Il en résulte donc que :
    • si x];2]x\in\left]-\infty;2\right] alors f(x)0f''\left(x\right)\le0 et donc ff est concave\red{\text{concave}} sur cet intervalle.
    • si x[2;+[x\in\left[2;+\infty\right[ alors f(x)0f''\left(x\right)\ge0 et donc ff est convexe\red{\text{convexe}} sur cet intervalle.
    Ainsi :
    Question 2

    Déterminer une équation de la tangente D\mathscr{D} à Cf\mathscr{C_f} au point d'abscisse 00 .

    Correction
    L'équation de la tangente au point d'abscisse aa s'écrit y=f(a)(xa)+f(a)y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).
    Ici a=0a=0, ce qui donne, y=f(0)(x0)+f(0)y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right).
    1\red{1}eˋre\red{\text{ère}} eˊtape :\text{\red{ étape :}} calculer f(0)f\left(0\right)
    f(0)=2×0×e0+0+1f\left(0\right)=2\times0\times e^{-0} +0+1
    f(0)=0+0+1f\left(0\right)=0+0+1
    f(0)=1f\left(0\right)=1
    2\red{2}eˋme\red{\text{ème}} eˊtape :\text{\red{ étape :}} calculer f(0)f'\left(0\right)
    f(0)=(22×0)e0+1f'\left(0\right)=\left(2-2\times0\right)e^{-0} +1
    f(0)=2×1+1f'\left(0\right)=2\times 1 +1
    f(0)=3f'\left(0\right)=3
    3\red{3}eˋme\red{\text{ème}} eˊtape :\text{\red{ étape :}} on remplace les valeurs de f(0)f\left(0\right) et de f(0)f'\left(0\right) dans la formule de l'équation de tangente.
    On sait que :
    y=f(0)(x0)+f(0)y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)
    y=3×(x0)+1y=3\times \left(x-0\right)+1
    y=3x+1y=3x+1
    Ainsi l'équation de la tangente D\mathscr{D} à la courbe Cf\mathscr{C_f} au point d'abscisse 00 est alors y=3x+1y=3x+1.
    Question 3

    Pour tout réel x];2]x\in \left]-\infty ;2\right] en déduire que : 2xex2x02xe^{-x} -2x\le 0

    Correction
      Les deux définitions ci-dessous sont équivalentes :
  • ff est une fonction concave\red{\text{concave}} sur un intervalle II si sa courbe représentative Cf\mathscr{C_f} est située entièrement en-dessous de chacune de ses tangentes .\red{\text{en-dessous de chacune de ses tangentes .}}
  • ff est une fonction concave\red{\text{concave}} sur un intervalle II si chacune de ses tangentes sont au-dessus\red{\text{au-dessus}} de la courbe représentative Cf\mathscr{C_f} .
  • D'après la question 11, nous avons montré que sur l'intervalle ];2]\left]-\infty;2 \right] la fonction ff est concave. Sa courbe est alors située en dessous de chacunes de ces tangentes. En particulier, elle est en dessous de la tangente au point d'abscisse 00.
    Ainsi pour tout réel x];2]x\in \left]-\infty;2 \right], on a :
    f(x)3x+1f\left(x\right)\le 3x+1
    2xex+x+13x+12xe^{-x} +x+1\le 3x+1
    2xex+x+13x102xe^{-x} +x+1- 3x-1\le0
    Ce qui nous donne :
    2xex2x02xe^{-x} -2x\le 0