(eu)′=u′eu Soit
f(x)=2xe−x+x+1 Ici on reconnaît la forme
(uv+w)′=u′v+uv′+w′ avec
u(x)=2x ;
v(x)=e−x et
w(x)=x+1Ainsi :
u′(x)=2 et
v′(x)=−e−x, enfin
w′(x)=1Il vient alors que :
f′(x)=2×e−x+2x×(−e−x)+1f′(x)=2e−x−2xe−x+1 f′(x)=(2−2x)e−x+1 Nous allons maintenant calculer
f′′.
Ici on reconnaît la forme
(uv+w)′=u′v+uv′+w′ avec
u(x)=2−2x ;
v(x)=e−x et
w(x)=1Ainsi :
u′(x)=−2 et
v′(x)=−e−x, enfin
w′(x)=0Il vient alors que :
f′′(x)=−2e−x+(2−2x)(−e−x)f′′(x)=−2e−x+2×(−e−x)+(−2x)×(−e−x) f′′(x)=−2e−x−2e−x+2xe−x f′′(x)=−4e−x+2xe−xFinalement :
f′′(x)=(−4+2x)e−x Pour tout réel
x, on a
e−x>0.
−4+2x≥0⇔2x≥4⇔x≥24⇔x≥2Cela signifie que l'on va mettre le signe
+ dans la ligne de
−4+2x lorsque
x sera supérieur ou égale à
2.
- Lorsque f′′(x)≥0 sur un intervalle [a,b] alors f est convexe.
- Lorsque f′′(x)≤0 sur un intervalle [a,b] alors f est concave.
Il en résulte donc que :
- si x∈]−∞;2] alors f′′(x)≤0 et donc f est concave sur cet intervalle.
- si x∈[2;+∞[ alors f′′(x)≥0 et donc f est convexe sur cet intervalle.
Ainsi :