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Convexité

Exercices types : Lien entre la convexité et inégalités - Exercice 1

10 min
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Soit ff la fonction définie sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par f(x)=12x2xf\left(x\right)=-\frac{1}{2}x-\frac{2}{x}
Question 1

Montrer que ff est concave sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ .

Correction
Nous allons commencer par calculer ff' puis ff''.
ff est dérivable sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ .
  • (1x)=1x2\left(\frac{1}{x} \right)^{'} =-\frac{1}{x^{2} }
Ainsi :
f(x)=12(2x2)f'\left(x\right)=-\frac{1}{2}-\left(-\frac{2}{x^{2}}\right)
f(x)=12+2x2f'\left(x\right)=-\frac{1}{2}+\frac{2}{x^{2}}

ff' est dérivable sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ .
  • (1u)=uu2\left(\frac{1}{u} \right)^{'} =-\frac{u'}{u^{2} }
f(x)=2×2x(x2)2f'\left(x\right)=2\times \frac{-2x}{\left(x^{2} \right)^{2} }
f(x)=4xx4f'\left(x\right)=\frac{-4x}{x^{4} } . On simplifie par xx .
Ainsi :
f(x)=4x3f''\left(x\right)=-\frac{4}{x^{3}}

Nous savons que x]0;+[x\in \left]0;+\infty \right[ ce qui signifie que x>0x> 0
Il en résulte donc que x3>0x^{3}>0 et de plus nous savons que 4<0-4<0 .
On peut alors conclure que 4x3<0-\frac{4}{x^{3}}<0
On peut alors affirmer que f(x)<0f''\left(x\right)<0
  • Lorsque f(x)0f''\left(x\right)\ge 0 sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors ff est convexe.
  • Lorsque f(x)0f''\left(x\right)\le 0 sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors ff est concave.
Il en résulte donc que ff est concave sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ .
Question 2

Déterminer une équation de la tangente D\mathscr{D} à Cf\mathscr{C_f} au point d'abscisse 22 .

Correction
L'équation de la tangente au point d'abscisse aa s'écrit y=f(a)(xa)+f(a)y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).
Ici a=2a=2, ce qui donne, y=f(2)(x2)+f(2)y=f'\left(2\right)\left(x-2\right)+f\left(2\right).
1\red{1}eˋre\red{\text{ère}} eˊtape :\text{\red{ étape :}} calculer f(2)f\left(2\right)
f(2)=12×222f\left(2\right)=-\frac{1}{2}\times 2-\frac{2}{2}
f(2)=2f\left(2\right)=-2
2\red{2}eˋme\red{\text{ème}} eˊtape :\text{\red{ étape :}} calculer f(2)f'\left(2\right)
f(2)=12+222f'\left(2\right)=-\frac{1}{2}+\frac{2}{2^{2}}
f(2)=12+12f'\left(2\right)=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}
f(2)=0f'\left(2\right)=0
3\red{3}eˋme\red{\text{ème}} eˊtape :\text{\red{ étape :}} on remplace les valeurs de f(2)f\left(2\right) et de f(2)f'\left(2\right) dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
y=f(2)(x2)+f(2)y=f'\left(2\right)\left(x-2\right)+f\left(2\right)
y=0×(x2)2y=0\times \left(x-2\right)-2
y=2y=-2
Ainsi l'équation de la tangente D\mathscr{D} à la courbe Cf\mathscr{C_f} au point d'abscisse 22 est alors y=2y=-2.
Question 3

Pour tout réel x]0;+[x\in \left]0;+\infty \right[ en déduire que : 12x2x2-\frac{1}{2}x-\frac{2}{x}\le -2

Correction
    Les deux définitions ci-dessous sont équivalentes :
  • ff est une fonction concave\red{\text{concave}} sur un intervalle II si sa courbe représentative Cf\mathscr{C_f} est située entièrement en-dessous de chacune de ses tangentes .\red{\text{en-dessous de chacune de ses tangentes .}}
  • ff est une fonction concave\red{\text{concave}} sur un intervalle II si chacune de ses tangentes sont au-dessus\red{\text{au-dessus}} de la courbe représentative Cf\mathscr{C_f} .
  • D'après la question 11, nous avons montré que sur l'intervalle ]0;+[\left]0;+\infty \right[ la fonction ff est concave. Sa courbe est alors située en dessous de chacunes de ces tangentes. En particulier, elle est en dessous de la tangente au point d'abscisse 22.
    Ainsi pour tout réel x]0;+[x\in \left]0;+\infty \right[, on a :
    f(x)2f\left(x\right)\le -2
    Finalement :
    12x2x2-\frac{1}{2}x-\frac{2}{x}\le -2